葛立恒：我说一个数，让你的脑子变黑洞

你能想到的最大的数是多少？也许有人会说：当然是无穷大啦！如果加上一个限制：这个数字必须有确定的含义，比如是一个方程的解，或者能够解释一个问题，那么最大的数字是多少呢？

华严大数

在佛教经典《华严经》中，有一部分关于数字的描述。

世尊在与心王菩萨的对话中说道：

“善男子，一百洛叉为一俱胝，俱胝俱胝为一阿庾多，阿庾多阿庾多为一那由他……”

意思是说：洛叉表示十万，俱胝为100洛叉，即一千万，阿庾多为俱胝乘俱胝，等于一百万亿.

按照这样的方式，世尊说到了许多常人无法想象的巨大单位.

比如：最大的数字“不可说不可说转”是一个370万亿亿亿亿位数（10^38位数），如果在一张A4纸上写下1000个数字，每本书1000页，要写3.7亿亿亿亿本书，世界上最大的美国国会图书馆藏书1.5亿册，写下这个数字的零头都不够。佛家的境界，的确比普通人高到不知道哪里去了。

但是如果你认为这就是你见过最大的数了，未免图样图森破了。

拓展运算

回到数学问题上。如果给你三个数字3，你能组成多大的数字呢？

小学我们学习了加法，所以有人会利用加法计算：3+3+3=9并认为这是最大的数字。

后来我们学习了乘法，知道上面的数字只要写作3×3=9就可以了，所以我们可以构造更大的数字：3×3×3=27。

再后来我们学习了乘方，知道3×3×3可以写作3的3次方，于是可以构造更大的数字：

用3个3居然能够造出7.6万亿这么大数字！

从加法，变为乘法，再变为乘方，数学家在解决问题的过程中发明了各种运算符号，从而大大拓展了人们理解数字的能力。那么我们还能继续拓展么？

显然，答案是能。我们来介绍一种运算：高德纳箭头：↑

高德纳是著名计算机科学家，1974年图灵奖获得者。他提出了一种运算符号，这种符号的运算规则是：

规则1：

即：一次高德纳箭头运算表示n个m连乘，即m的n次幂。

规则2：

即：二次高德纳箭头可以表示一次高德纳箭头的连续运算，即n个m连续做一次高德纳运算。注意：在运算时，要从右侧向左侧运算。

高德纳箭头还可以继续增加，例如：三次高德纳箭头可以看作二次高德纳箭头的连续运算，四次高德纳箭头可以看作三次高德纳箭头的连续运算等等。我们来举一个例子：

大家看，到了3次高德纳箭头，这个数字已经非常可怕了：它是3的幂次塔！这个塔有3的3的3次幂层！

这个数字有多大呢？我们不妨这样说：别说把它计算出来，就是把它完整的表达式写出来而不使用省略号的话，两厘米写一个3，我也要从地球写到太阳才能写下这个3的幂次塔。

那么，如果四次高德纳箭头，又会有多可怕呢？

有网友画了一张图来表示这个数字：

是一个塔叠塔！我已经不知道要把这个表达式写出来，会从地球写到什么地方了，更别说最后把这个数字算出来了。

准备工作做完了，现在可以讲葛立恒数了。

葛立恒数

葛立恒数其实是一个数学问题的解的上限，由美国计算机专家葛立恒提出。葛立恒把这个数字用高德纳箭头表示，这就是葛立恒数。

这个问题是这样的：

把N维超立方体任意两个顶点连线成为一个完全图，并将所有线段用红色或蓝色染色，使得无论如何染色，总有同一平面上的同色完全子图，那么N的最小值是多少？

可能许多小朋友看到这里的心情是十分复杂的。

我们来解释一下这个问题：

N维超立方体就是在N维空间中的立方体。比如，二维立方体就是一个正方形，三维立方体就是立方体，四维立方体我们不好想像，但是它应该有16个顶点，而且每一个顶点都与周围的四个顶点相连，这四条线段在四维空间中是彼此垂直的。

大家注意：上图并不是4维立方体，而只是4维立方体在三维空间中的投影。按照这种规律，我们可以想象出N维超立方体的情景了。当然，它极有可能是一种让人崩溃的形状。比如九维超立方体。

明白了超立方体，我们再来看看完全图。完全图就是每两个点都有线段连接的图。显然，正方形不是完全图，但是如果把正方形两条对角线相连，就变成了完全图。

现在，我们对每条线段进行红色和蓝色的染色，尽量避免出现同一个颜色的几条线段在同一平面内出现一个完全图。显然，在二维情况下是很容易做到的。比如我们可以这样做：

此时无论是红色还是蓝色线段，都不是一个完全图（因为红色和蓝色图形都有点没有线段相连）。也就是说：在二维立方体的完全图中进行红蓝染色，可以避免出现同平面内的同色完全子图.

其实三维立方体也能够做到染色而不出现同平面的同色完全子图，因此3也不是问题的解。

那么，在多少维立方体下，用两种颜色染色会不可避免的出现同一平面的完全子图呢？数学家们一直研究到11维立方体，发现都可以用某种方法染色避免完全子图的出现，不是问题的解。12维立方体可不可以呢？科学家们还没有研究出来，所以说这个问题的最小可能解是12。

葛立恒通过数学推导证明了一件事：这个解一定是存在的，而且有一个上限，尽管这个上限非常的大。葛立恒把这个数字计算了出来，就被称之为为葛立恒数，它是：

它的最底层g(1)就是我们刚才说的四次高德纳箭头运算，已经是一个大到不知道哪里去了的数了，但是它只作为第二层g(2)的箭头数。而第二层所表示的数字只是第三层的箭头数…..,它一共有64层，称为g(64)。

葛立恒数有多大？

葛立恒数曾经被认为是世界上最大的数字，并入选了吉尼斯世界纪录，虽然现在葛立恒数已经被Tree（3）取代了。在葛立恒数面前，华严大数小的跟零没什么区别。

葛立恒数究竟有多夸张？我们不妨做几个比较。

人们估计宇宙的直径大约有920亿光年，约合8×10^26m。宇宙中最小的尺度是普朗克长度，大约1.6×10^(-34)m，如果我们把宇宙按普朗克长度切割成一个个的小单元，那么大约有10183个单元，能写下10^183个数字，但是这个数字跟葛立恒数比起来连渣都算不上，就算要写下最下层的g(1)，也是远远不够的。

假如一个人完全掌握了葛立恒数，并将葛立恒数的每一位数字都记忆进自己的大脑，那么他的大脑会由于信息量太大而质量变得极大，从而变成一个黑洞。

现在，你还想知道葛立恒数吗？