如何证明3=0？推翻数学大厦！

有一位网友通过解一元二次方程得到了3=0的结果，于是他宣布自己推翻了现有的数学体系。这是真的吗？

最近有个小朋友跟我说，他在网上看了一个帖子，说有一个人推翻了现有数学体系，因为他可以证明3=0。这是怎么回事呢？今天我们来讨论一下这个问题。

3=0？

我们首先来说一下这个帖子的证明。帖子的作者构造了一个方程：

这是一个一元二次方程。显而易见，0不是方程的根，于是就可以让这个方程的等号两边同时除以x，得到下面这个新方程：

然后再把式子(1)和(2)作差，左边减左边，右边减右边，得到如下的方程：

因为x≠0，现在在等号两边同时乘以一个x，就变成了：

显而易见：方程的根是

好，方程解完了，我们再把这个解代回到原方程就会有

现有数学体系被推翻了！

一元二次方程

问题出在哪？

我们首先来讨论一下初中数学内容：一元二次方程。

根据求根公式，这个方程有两个根：

根号里边的部分叫做判别式，

在公式里，判别式要开平方。在上初中的时候我们知道：只有非负数才有平方，所以我们有这样的结论：判别式大于等于0时，一元二次方程有两个实数根，而判别式小于0时，一元二次方程没有实数根。

明白了这个道理之后，我们再回过头来看最开始的方程(1)

这个方程的系数a、b、c都是1，按照一元二次方程的解法，它的判别是

它是小于零的，说明这个方程没有实数根。既然连实数根都没有，解出x=1的结果肯定是不对的。

复数根

1799年，22岁的数学王子高斯提交了自己的博士论文《单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明》，用人话说就是：n次多项式方程就一定有n个根，这个结论被称为代数基本定理。

高斯

等会儿，刚才我们还说判别式小于零的时候一元二次方程没有实数根，现在又说n次方程一定有n个根，这不矛盾吗？

我们先回忆这样一个情景：小学一年级的时候，如果老师问我们：1减去2等于几，我们一定会回答算不了，因为我们对数的认识只停留在自然数上。不过，如果引入了负数，就能得

这就是数域拓展——从自然数N拓展到了整数Z。

如果小学二年级的时候，老师问我们：10除以3等于几，可能我们又会回答算不了，因为10除以3不是整数。不过，如果引入了分数，10除以3就能算了。

整数和分数统称有理数，从整数Z到有理数Q，又是一次数域拓展。

我们继续想：如果小学三年级的时候，老师问我们3的平方根是多少，我们还是会回答算不了，因为3的平方根不是整数也不是分数。但是，如果引入了无理数，3的平方根就又有了。

有理数和无理数统称实数，从有理数Q到实数R又是一次数域拓展。

继续，如果上了初中，老师问我们：-1的平方根是多少？我们一样会回答：不存在。因为任何实数的平方都不可能是负的。实际上，如果引入了虚数，-1的平方根就又存在了。

其中i是虚数的单位。实数和虚数，统称复数。从实数R到复数C，又是一次数域拓展。

数域扩张

对于方程

由于判别式小于0，它没有实数根，但是依然有复数域内的根。按照求根公式，

在初中的时候我们学过：任何一个实数，都表示成实数轴上的一个点。其实，复数也可以对应于复平面上的一个点:过实数轴上的原点做一个实数轴的垂线，这叫做虚轴，实轴和虚轴拓展成的二维平面就叫复平面。

任何一个复数都可以表示成复平面上的一个点，它的横坐标叫做实部，纵坐标叫做虚部。比如刚才方程的两个根，在复平面内就表示成下图：

大家看，这个一元二次的两个根没有落到实数轴上，所以它没有实数根，只有两个复数根。而且这两个根都不是1.

方程的增根

那么，x=1又是怎么出来的呢？

初中二年级，我们学习了分式方程，老师会讲到增根的概念。比如一个方程

有两个根

现在，我让方程两边同时乘以x-a，得到

显然，除了原来方程的两个根之外，这个方程还多出了一个根

因为方程两边同时乘以x-a，就会引入根x=a,它并不是原来方程的根.这样的根就就称之为原方程的增根。

现在，我们就可以研究一下前面帖子里的证明方法问题出在哪里了。我们令

第一步两边同时除以x，得到

然后把式子(1’)和(2’)作差，变成了

再让等号两边同时乘以x，于是就变成了

大家看，帖子里纷繁复杂的操作，最终不过是在两边同时乘以(x-1)。这样原来的二次方程就变成了三次方程，它的根从两个变成了三个——多出了一个增根x=1。

将增根代回原来方程，显然是不合理的。

如果把这三个根画在复平面内，它们会落在一个半径为1的圆上，并且彼此夹角都是120度。

还挺有趣的。