你从未见过费马大定理，如果n不是整数，是1/2或者π呢？

有人问我一个非常有趣的问题， "你能将费马大定理推广到非整数指数吗？"。我将在下面解释这一切，并尽力回答这个问题。

考虑一下这个方程

其中x、y和z是正整数。我们好奇的是，我们能找到这个方程的哪些解？特别是，给定一个固定的n，是否存在x，y，z∈ℕ使这样的方程成立？

当n=1时，我们只要找到x、y和z的值，使得：

不难看出，这些值有无限多个，比如说：

对于n=2，这就有点难了，但我们一般还是可以想出一些。例如：

还有一些更大的解，如：

如果考虑一个边长为x，y，斜边长为z的直角三角形，那么我们知道这种情况下，n=2，被称为勾股定理。

三元组（x,y,z）被称为毕达哥拉斯三元组，而且有无限多的毕达哥拉斯三元组。

我们继续，如果n=3呢？想出一个解就不那么容易了。如果n=4、5或6呢？如果n等于任何大于或等于3的整数呢？如果你想不出任何一个解，也不要灰心。这个问题困扰了数学家大约358年，直到1994年，安德鲁-怀尔斯终于证明，这些n的值都没有解。这被称为费马大定理，是皮埃尔-德-费马在1637年左右首次提出的一个问题。据说，费马把这个问题写在了他那本著名的古希腊数学著作《Arithmetica》的空白处，并声称他有一个证明，但是证明太长，无法放在空白处。我认为，鉴于实际证明该定理所需的时间之长，以及需要两篇共129页的论文，其中包含的数学思想直到费马死后几个世纪才出现，我们几乎可以肯定，费马所说的证明是有缺陷的。

我们不会深入研究怀尔斯的证明。相反，我想讨论的是在成千上万篇关于费马大定理的文章中经常被忽略的内容。顺便提一下，该定理也被称为费马最后定理，并不是因为它是费马产生的最后一个定理，而是因为它是他的定理中最后一个被证明的。

在这篇文章中，我们会问如果n不是正整数怎么办？如果n=1/2呢？或者可能更有趣，如果n=π呢？这些方程能有解吗？也许令人惊讶的是，答案并不难计算和解释。我们只需从我们已经知道的东西中推断出来。

我们讨论以下三种情况下。

1）n是一个负整数。

2）n是一个有理数，即n可以被写成一个分数。

3）n是一个无理数，也就是说，n不能写成分数。

在开始之前，由于我们将在接下来的讨论中经常提到这个方程：

所以我们会给这个方程贴上标签（*），以节省编辑时间。

案例1：n是一个负整数。

首先，让我们首先考虑方程：

因为这似乎是最容易的。回顾一下，这和以下方程是一样的：

那么，我们要问的是：是否有任何三元组x,y,z∈ℕ能满足这个方程呢？你也许能想出一些解，比如说：

事实上，有无限多这样的解，我一会儿就会告诉你如何找出它们。但让我们先考虑下面方程的解：

这可能不那么容易立即看到答案，但它们确实有解，例如：

事实上，这也有无限多的解。

我们接下来可以继续问，当n=-3，-4，......会怎样？就像费马大定理一样，当n=-1或n=-2时，我们可以找到无限多的（*）的解，而当n=-3，-4，-5，....，就没有解了。

这是因为在正指数为n的(*)的解和负指数为n的(*)的解之间存在着 "一一对应 "的关系。

回到我们的问题上，让我告诉你这个方程的解法：

对于(*)的每个解(x,y,z)，当n=1，2时，只需将(*)的每项除以(xyz)^n，就可以得到(*)的负指数n=-1，-2的解。 例如，我们知道1+2=3，所以要得到x^(-1)+y^(-1)=z^(-1)的解，就要将每项除以（(1)(2)(3))^1=6。这样，我们得到：

这是我上面举的例子之一。同样地，由于10+11=21，你可以证明：

我们对n=2做同样的事情。我们知道3^2+4^2=5^2，所以我们除以（（3）（4）（5））^2=3600。这样，我们得到：

这又是我上面举的例子之一。利用5^2+12^2=13^2，会得到：

好了，这表明对于(*)的每一个正指数n的解，我们都可以找到(*)的一个负指数n的解。这一次，从指数为负数的(*)的解开始，简单地将每项都乘以(xyz)^n。

我们已经证明了对于n=1或n=2的(*)的每个解我们可以分别生成一个n=-1或n=-2的(*)的解。特别地，由于当n=1和n=2时(*)有无穷多个解，所以当n=-1和n=-2时(*)有无穷多个解。

案例2：n是一个有理数

由于n是有理数，我们可以将其表达为：

对于那些不熟悉数学符号的人来说，我们通常把它写成k，m∈ℤ，m>0。因此，我们可以改成要求下面方程的解：

或者，我们可以将其写为：

这看起来有点吓人，我完全理解。试图想出这样一个方程的解是不容易的。幸运的是，我们不需要去求解。别人已经为我们做了这些工作，我们可以站在巨人的肩膀上。让我从一个例子开始，考虑下面方程：

我们可以检查一下，x=27，y=64，z=125是这个方程的解，即：

同样，x=125，y=1728，z=2197也是一个解。那么我是怎么想到这些的呢？我当然不是自己想出来的，而是别人帮我们求算出来的。特别是，我们已经知道：

这可以按以下方式进行：

我做了同样的事情，从5^2+12^2=13^2中得到了x=125、y=1728、z=2197的解。

事实上，我们可以对任何形式的方程这样做：

我们只需取x^2+y^2=z^2的一个解，即取任何毕达哥拉斯式三元组（x,y,z），并让：

因此，我们可以看到，我们将得到无限多的解，因为我们知道有无限多的毕达哥拉斯三元组。

当考虑这个方程时也是一样的：

只需取x+y=z的一个解，然后让：

如果我们要下面方程的解呢？

那么，利用我们总结出的规律，我们就求出x³+y³=z³的一个解，然后让：

然而，从费马大定理中我们知道，x^3+y^3=z^3没有解，所以方法失效。现在要小心了，我们很容易得出结论，下式方程也没有解：

然而，这是错误的。我们只是知道，当n>2时，我们的上面技巧将无法找到任何解，这并不意味着没有解。特别地，可以证明，除了n=1/m和n=2/m时，对于m∈ℤ，（*）将没有解。

但要给出一个完全正确的证明需要做一些工作，对于非数学家来说，还需要一些额外的定义，所以我不会在这里提供，而是建议感兴趣的读者去查。

让我在结束对这个案例的讨论时指出，这个结果意味着（*）的唯一指数解位于区间[-2，2]内。我们将在案例3中使用这一事实。

案例3：n是无理数

与前两种情况一样，让我们从问题开始：当是无理数时，是否存在解？

当n是无理数时，有没有解？

有的，这很容易看到。请注意：

所以，当指数n在2和3之间时，4^n+5^n的值从大于6^6变为小于6^n。因此，在区间[2,3]中一定有某个n的值，使得：

这似乎是常识，但实际上有一个数学定理，称为中值定理，它支持我们直接得出结论。此外，从案例2中，由于n>2，我们知道这个值n不可能是有理的，所以事实上它必须是无理的。因此，至少存在一些无理指数n，使（*）有解。明确计算这个n的值可能有点麻烦，结果是n=2.4879....

你可以通过计算n的值在哪个区间，对任何其他增加的三元组（x,y,z）进行计算。例如，考虑三元组（8,9,10）：

因此，在区间[4,5]中一定有n的某个值，使得

而且，由于n>2，这一定是一个无理数的值。

像我上面那样让x，y，z连续，并没有什么特别之处。你可以类似地看一下：

因此，在区间[2,3]中一定有一些n的值，使得：

而且，由于n>2，这一定是一个无理数值。

因此，由于存在无限多的递增三元组（x,y,z），所以存在无限多的无理指数n，对于这些指数，有一个（*）的解。

请注意，这并不意味着每个无理指数n都有(*)的解，只是说有无限多的n（无理数），其中至少有一个解。据我所知，关于究竟哪些类型的无理指数有这些解，哪些没有，仍有一些开放性问题。

作为最后的说明，我们指出，在有些情况下，无理指数可以用一种简单的方式明确地算出来。其中一种情况发生在x=y时。特别是要注意，如果x=y，那么：

如果我们现在以(z/x)为基础取对数：

的两边，我们发现

即：

因此，作为一个具体的例子，我们看到

最后，让我们总结一下。对于x,y,z∈ℕ的方程：

有：

• 当n=1或n=2时，有无限多的解x,y,z，但当n=3，4，5时，没有解，.... 这就是费马大定理。
• 当n=-1或n=2时有无限多的解x,y,z，但当n=-3，-4，-5时没有解,....
• 当n=(1/m)或n=(2/m)时，有无限多的解x，y，z，但对于任何其他的有理指数n都没有解。
• 无限多的无理数n，使方程至少有一个解x，y，z。

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