2021武汉中考数学卷第22题难度不大但易错，分类讨论是难点

各位朋友，大家好！在9月份，“数学视窗”继续与大家分享2021年全国各地中考数学试题，选取有一定难度的能力题进行讲解。今天分享的这道题目是2021年武汉中考数学试卷中的解答题第22题，此题是有关二次函数求最值的实际应用题，难度不大但容易出错，是对学生综合能力的考查。

如果学生不能熟练掌握二次函数的性质的知识点，并进行灵活运用，将无法完全做出此题。这道题考查了二次函数的性质和分式方程等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（2021·武汉中考第22题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）第一问比较简单，根据题意，设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，再列出方程就可以求出两种原料的单价，然后根据“成本=原料费+其他成本”计算每盒产品的成本即可；

（2）根据“日利润=每件的利润×数量”列出函数关系式，再化简成二次函数的一般形式即可；

（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质分情况讨论求出最大值，即可得出每天的最大利润．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程有所省略，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，

根据题意，得

900/m - 900/1.5m =100，

（根据：若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg）

解得m=3，

经检验m=3是方程的解，（注意此步必须有，否则会被扣分）

∴1.5m=4.5，

（每盒需要A原料2kg和B原料4kg，其他成本9元）

∴每盒产品的成本是：4.5×2+3×4+9=30（元）

答：每盒产品的成本为30元；

（2）根据题意，得

w=（x-30）[500-10（x-60）]

（每件的利润：x-30 元，每天可以销售：500-10（x-60）盒）

=-10x^2+1400x-33000，

∴w关于x的函数解析式为：w=-10x^2+1400x-33000；

（3）由（2）知

w=-10x^2+1400x-33000

=-10（x-70）^2+16000，

∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，

（这里需要讨论a的取值情况）

当60＜a＜70时，每天的最大利润为（-10a^2+1400a-33000）元．

（完毕）

这道题具有一定的综合性，解决本题的关键是熟练应用二次函数的性质求最值，根据实际情况进行讨论是难点。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。