用圆弧近似对数螺线的艺术

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

黄金对数螺线的近似是众所周知的。我们证明，任何对数螺旋都可以用类似的方法用四分之一圆来近似。我们在一个长宽比为√φ的矩形上进行构造，并执行坐标重新参数化，我们获得了平面的美学划分作为我们的主要艺术品。

对数螺线

自然结构存在着各种对数螺旋或近似的螺旋。例如鹦鹉螺的外壳、旋风的中心、星系的（螺旋）臂、植物的轴模式、或曼德布罗特集的子结构，见图1。对数螺旋的构造在很多出版物中都有介绍。在此仅举一些例子，在[7]中，对数螺旋是虚拟螺旋面模型的基本灵感来源。对数螺旋在建筑中的使用请见文献[2]。与本文有些类似，[5]将对数螺旋的经典构造从三角形扩展到一般的多边形构造中。

图1：对数螺线的自然近似的例子。从左到右：鹦鹉螺壳、气旋中心、星系旋臂、罗马西兰花中的叶序模式和曼德布罗特集合的一部分（类似于[6]中讨论的对数螺线）。所有图片均来自pixabay.com。

从数学的角度来看，对数螺线是一条特殊的曲线，它从中心向外增长，每一个角度都有一个恒定的系数。它可以用r(t)和导数r`(t)进行参数化，如下所示：

对于常数a∈R。这里，a=0对应于退化的情况，在这种情况下，螺线会坍缩成一个圆。对于a<0，曲线向内螺旋，在原点收敛，而对于a>0，曲线在t增长时向外螺旋。r(t)和r`(t)之间的角度在所有情况下是恒定的，正如下面的计算所显示的，其中

表示两个向量v和w的内积。

参数=2 ln(φ)/π的对数螺旋按黄金比例=(√5+1)/2在逆时针方向转了四分之一圈，通常被称为黄金螺旋。虽然图1所示的鹦鹉螺壳经常被引用为自然界中黄金螺旋的例子，但这种说法的证据大多是传闻[3]。事实上，研究发现不同个体以及不同种类的鹦鹉螺有几个比率，见[1]。同样，图1中的其他例子也只是黄金螺旋或各自其他对数螺旋的近似。

在后文中，我们首先回顾了通过四分之一圆对黄金螺旋进行的经典近似。对这一结构的概括使我们能够近似任意的对数螺旋。这些螺旋线可以反过来进行重构，从而形成平面密铺和最终的艺术品。

用四分之一圆逼近黄金对数螺旋

对于古典建筑，我们从黄金矩形开始，切下一个正方形，然后画上一个四分之一圆。初始黄金矩形的其余部分也是黄金矩形，旋转π/2，缩放1/φ。用这个更小的黄金矩形重复这个构造，见图2a。这种近似产生了一条相当接近实际黄金螺旋的曲线，如图2b所示。

（a）用四分之一圆（黑色，前景）逼近黄金对数螺线（蓝色，背景）

（b） 实际的黄金螺线（黑色，前景）和四分之一圆的近似（蓝色，背景）

图2：黄金螺线和通过四分之一圆的近似螺旋线的比较。差异在第一个和最大的四分之一圆附近最明显。

每两个相邻的四分之一圆在其共同的端点都有相同方向的切线。所有四分之一圆的集合给出了一个黄金螺旋的近似，见图2。黄金螺旋的极限点是第一个和第二个黄金矩形的对角线的交汇点。请注意，这些对角线对所有后续的小黄金矩形都是一样的。当最初的黄金矩形平行于坐标轴时，对角线的斜率是-1/φ和φ，所以第一和第二黄金矩形的对角线是互相垂直的。

用对角线构建

我们已经看到一系列嵌套的黄金矩形如何产生它们的对角线，从而产生一个共同的交点。然而，这种构造也可以反过来。也就是说，矩形的序列也可以从两个对角线方向构建。

最初的设置包括两条通过原点的垂直线——一条斜率为-s，一条斜率为1/s，斜率为-s的线上有一个任意的点p≠0。从这一点开始，我们画一条平行于X轴的线段，朝向另一条线，直到相交，我们用一个新的点标记。这个新的交点又是一条新的、平行于y轴的线段的起点，请看图3a，这是斜率为-2/3和3/2的两条线的展示。

（a） 构建垂直线上的点

（b） 通过与之前的线连接来构建矩形

图3：由两条斜率为-2/3和3/2的垂直线构建

通过迭代这个过程，我们得到一个无穷序列的点在两条线上交替。在每一步中，图形都与上一步相似，旋转π/2，缩放s。从第4个迭代步骤（即第4条线段）开始，我们将线段延伸到交点之外。这些线段在第一个遇到的先前绘制的线段上停止。因此，这个构造产生了一组嵌套的矩形，见图3b。然而，这些矩形通常不是正方形，因此，我们不能简单地在每个矩形上画四分之一圆。

我们想构建一个四分之一圆的半径，使下一个四分之一圆在它们的共同交点处有相同的切线，并按系数s缩放。因此，半径必须与下一个半径加上下一步剩余矩形的高度相同。假设当前矩形的高度为b，我们得到：

从几何上讲，这个半径R可以通过以下步骤由截距定理构造。首先，在第一个矩形的垂直切边处构造一个点，高度sb高于下边缘。这可以通过画一个半径为sb的四分之一圆来实现，圆的下界是垂直边，如图4a中标记1所示。第二步，构建通过该点与右上角（图4a中标注2）的直线与下水平边延伸的直线的交点。然后，通过将圆规设置为第二步构建的交点，可以围绕垂直边缘上的较低交点绘制半径为四分之一的圆。

（a）构造半径

（b）四分之一圆近似

图4：从图3b开始，用四分之一圆构建近似

鉴于这个过程，我们可以通过四分之一圆来构建任何a>0的对数螺旋的近似。注意，通过我们构造的镜像，我们也可以用a<0来近似对数螺旋线。从R的计算可以清楚地看出，顺时针方向每隔四分之一圈，就会用s的一个因子来表示近似。根据方程1中给出的用于对数螺旋参数化的常数，它因此等于- 2ln (s)/π。换句话说，要用一个给定的常数来近似一个对数螺线，我们必须选择s= e^ - aπ/2。至于起始点，我们可以选择任何一点作为构造的初始点，并执行该程序以获得螺旋的近似（通过选择相应的对角线已经有了正确的）。如果想要近似一个特定的对数螺旋（不仅仅是具有正确斜率的螺旋），所得到的近似可能需要旋转或缩放，以达到预期的螺旋。

请注意，这个结构是对黄金螺旋的经典近似的概括。也就是说，对于s=1/φ，它产生了众所周知的近似。与[4]中提出的程序类似，我们的构造也能产生无数不同的近似，见图5的选择。

图5：不同对数螺线在不同斜率值下的近似。请注意，图5e和5f中的螺旋分别顺时针旋转三分之一和二分之一。每个斜率对应的实际对数螺线在背景中以浅色给出，最明显的是图5a和5b中较小的斜率。

"更好的黄金螺旋"

Douglas McKenna在2018年提出了使用"更好的黄金矩形"，长宽比√φ，见[4]。图6a展示了我们对"更好的黄金螺旋"的近似，它是由这样的"更好的黄金矩形"构建的，按逆时针方向每圈φ^2缩放。

（a）用四分之一圆近似"更好的黄金对数螺线"

（b） 图6a的重构为一个近似的黄金螺旋

图6：由"更好的黄金矩形"构建的对数螺旋的近似，以及它对近似黄金螺旋的再参数化。右图还包括一个旋转了π的再参数化的副本。

这种结构在"更好的黄金螺旋"和黄金螺旋的近似之间产生了一种奇怪的联系。当我们将图6a中的整个构造转换为极坐标，然后将角度参数压缩1/2倍，并转换回笛卡尔坐标时，得到的构造只覆盖了欧几里得平面的一半，参见图7f。

图7：从近似的"展示更好的黄金螺旋"到近似的黄金螺旋的再参数化的。F点是重新参数化的一个焦点。在最后一张图片中，角度参数被压缩了1/2，因此所有的角度相对于F来说都减半了。

因此，为了保持螺旋的完整，我们不是简单地沿着坐标轴的某一部分切割图像，而是沿着图3a中构建的连续线段序列切割，并在图7a中以白色显示。为了说明这种重构的效果，我们标记了一组点A...J，它们在图7的父矩形中处于相同的相对位置，其中的点将是我们重构的一个焦点。当我们沿着图7a的白色线段切割时，在我们的初始构造中，标记的点相对于中心的原点和位于0角的焦点F有如下角度：（E：-π/2；D：-π；C：-3π/2；B：-2π；A：-5π/2）。请注意，与常规的极坐标不同，这些值可以小于-π或大于π，这是因为我们考虑到了螺旋的缠绕。用一个给定的系数来挤压这些坐标，会使它们的相对角度按选定的系数缩短。图7b到7f中给出的图片显示了这种重新参数化的相应效果。通过挤压角度参数，最初的白色线段序列逐渐打开，最终成为一个相连的白色空间。最后，在图7f中，所有的角度都已经减半。E：-π/4；D：-π/2；C：-3π/4；B：-π；A：-5π/4），例如，B点现在已经从与原点在同一直线上的火点移动到原点的相反位置，到了X轴的负数部分。

请注意图7a中的初始构造是如何密铺整个平面的，但是当我们压缩1/2时，重新参数化的对象只覆盖了平面的一半，见图7f。除了保持螺旋完整，通过执行这个重新参数化近似的"更好的黄金螺旋"映射到一个近似的对数螺旋，以φ每1/2·1/2的比例，即每逆时针四分之一转。因此，产生的物体是一个近似的黄金螺旋。

进一步注意，这种重新参数化不是共形的，即角度没有被保留。因此，矩形的角不再是直角。这可以通过转到复平面并将映射z→ √z视为共形的重新参数化来缓解。复杂地图的其他艺术应用见[8]。然而，在我们的例子中，地图需要像极坐标重新参数化一样进行修改，以保持螺旋的完整性。

白色的空间可以完全由产生的黄金螺旋的近似的副本来填补。该副本必须被旋转，以完全适合白色空间。这导致了两个相互交织的黄金螺旋的近似排列，如图6b所示。

然而，在上面执行的步骤中，选择1/2的压缩因子是任意的选择。事实上，我们可以使用任何1/n的压缩因子进行重新参数化，n∈ N。这又会产生足够的空白空间，以适合n-1个原始近似"更好的黄金螺旋"的重新参数化副本，前提是适当的旋转。

对于我们的最终作品，我们选择了n = 3。由此产生的三个交织的螺旋形被赋予了海洋调色板的互补色彩。这些颜色和扭曲的矩形的形状形似海马的尾巴。调色板还提到了鹦鹉螺的栖息地——不幸的是，鹦鹉螺只有一个，甚至不是黄金螺旋。在图8中的图案像"玩耍的海马"。

图8："玩耍的海马"，将图6a中的几何图形转化为近似的对数螺旋，按每1/2-1/3个圆的部分进行缩放。

参考文献

[1] C. Bartlett. "Nautilus Spirals and the Meta-Golden Ratio Chi." Nexus Network Journal vol. 21, no. 3, 2019, pp. 641–656.

[2] A. Capanna, M. Francaviglia, and M. G. Lorenzi. "Architecture, Form, Expression: The Helicoidal Skyscraper's Geometry." Bridges Conference Proceedings, Towson, USA, Jul. 25–29, 2012, pp. 349–356. http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-349.html

[3] P. Gailiunas. "The Golden Spiral: The Genesis of a Misunderstanding" Bridges Conference Proceedings, Baltimore, USA, Jul. 29–Aug. 02, 2015, pp. 159–166. http://archive.bridgesmathart.org/2015/bridges2015-159.html

[4] D. McKenna. "On a Better Golden Rectangle (That is Not 61.8033. . .% Useless!)" Bridges Conference Proceedings, Stockholm, Sweden, Jul. 25–29, 2018, pp. 187–194. http://archive.bridgesmathart.org/2018/bridges2018-187.html

[5] N. Mendler. "Polygon Spirals". Bridges Conference Proceedings, Jyväskylä, Finland, Aug. 9–13, 2016, pp. 507–510. http://archive.bridgesmathart.org/2016/bridges2016-507.html

[6] H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe. Fractals for the classroom: part two: complex systems and mandelbrot set. Springer Science & Business Media, 2012.

[7] C. H. Séquin. "Analogies from 2D to 3D – Exercises in Disciplined Creativity". Bridges Conference Proceedings, Winfifield, USA, Jul. 30–Aug. 1, 1999, pp. 161–172. http://archive.bridgesmathart.org/1999/bridges1999-161.html

[8] S. Schleimer and H. Segerman. "Squares that Look Round: Transforming Spherical Images". Bridges Conference Proceedings, Jyväskylä, Finland, Aug. 9–13, 2016, pp. 15–24. http://archive.bridgesmathart.org/2016/bridges2016-15.html

[9] Ulrich Reitebuch, Martin Skrodzki, Konrad Polthier, Approximating Logarithmic Spirals by Quarter Circles

青山不改，绿水长流，在下告退。

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