打结也能用数学研究？—— 扭结理论入门

这次跟大家聊聊“扭结理论”，就是研究“结”（Knot）的数学理论。数学真的是包罗万象，连打结也可以研究。

相信你小时候可能也曾想过这样的问题：画出一个结的形状，怎么判定它是一个活结？也就是拉这个结的两端，最后能还原成一直线？

这是最早的，研究扭结理论的一个动机。但数学家又发现，如果有两个开放端的话，对问题的描述不够简便，所以他们规定，数学里的结是把两个开放端连起来的。这样数学里的“结”就是一条封闭的绳环，在三维空间里缠绕构成的一个空间多边形。

(上图：这个结看上去很复杂，但是可以还原成一个环。有没有办法，简单判定一个结是否就是环？)

因为有很多扭结形状很漂亮，所以很多公司的logo就是采用扭结的图形。比如中国联通的logo，就是取自一个中国结的形状，当然也是一个很标准的数学中的扭结。

还有香港的亚洲电视台2010年前的Logo，就是一个标准的“三叶结”：

那么可以想象，一个绳环所能构成的最简单形状当然就是一个圆环，这是最简单的一种结，这种形状被称为“unknot”，中文叫“平凡结”。

（上图：动视暴雪旗下的一个游戏工作室：Treyarch的logo，很像三叶结，但我仔细看了一下之后，发现其实是平凡结。）

但是显然，不是所有的绳环都能最后还原成成一个圆环，所以问题就是：给定一个结的图形，怎么判定它是不是“平凡结”？或者，更一般的问题是：给定两个结，怎么判定它们其实是同一种结？

当然，对简单的结你可以目测判定，但是对很复杂形状，目测就会失效，所以数学家希望找到合适的数学方法去研究扭结。

这里的一个难点是，同一个扭结，形状可以千变万化，但是需要忽略绝大多数变化，只关注我们需要的变化。所以，数学家需要寻找的是“不变量”(Invariant)，就是变化中的对象中某个不改变的属性。就像我们如果再次见到几十年没见到的朋友，也许他的外貌发生了很大的变化，但是你可能发现，他的声音，生态，举止没有变化。那么这些属性就是“不变量”，这些属性可以帮我们识别一个人。

高斯曾经想出了一个办法，可以对一个“结”用数字串表示出来。也就是当别人看到这串数字后，可以还原出你所需要的结。但是，在他的方法，同一个结确可以有多种不同的表示，也没有简单方法判定两个数字串是否表示同一个结，所以对结的分类来说并不太有用。

高斯的结的数字表示法：

把结画在平面上，从一个结的任何一个位置开始，给定一个方向，沿线“游历”这个结。当第一次穿过某个“交叉点”时，对这个交叉点递增编号。并且规定，如果从上方穿过交叉点，编号取正，下方穿过，编号取负。那么上图的结的“高斯数字表示”就是：

1 -2 3 -4 5 6 -7 -8 4 -9 2 -10 8 11 -6 -1 10 -3 9 -5 -11 7

但此法并不总能确保还原出同样的结，因此有一种稍有变化“扩展的高斯表示”：当第二次穿过某个交叉点时，数字的正负由构成交叉点的两条线段的“手性”确定，右手手性为正，左手手性为负，则上述结的“扩展高斯表示”就是：

1 -2 3 -4 5 6 -7 -8 -4 -9 -2 -10 8 11 6 -1 -10 3 9 -5 -11 -7

扩展的高斯表示法可以唯一确定一个结。

那么对一个扭结来说，有什么样的不变量？你能想到的第一个属性应该就是交叉点数。一个扭结你把它放平放在桌上，通过整理，可能可以把绳与绳之间的交叉点减少若干，到一定程度后，就无法继续减少了。那么这交叉点数就是一个结的不变量。

这个交叉点数确实是一个扭结的不变量，比如平凡结，它的交叉点数就是0。而最简单的一个非平凡结，“三叶结”，它的交叉点数就是3。

(上图：7个交叉点以内的一些结)

但可惜的是，交叉点数并不是一个很有用的扭结不变量，有两个原因：给定一个结的形状，如何判定，这个形状里的交叉点数已经不能再减少了，这没有一个确切的方法。

比如看下联通的logo，图形上一共有9个交叉点，但其中有5个交叉点，并没有画出确切的上下关系。但是你可以看到，最左边和最右边的那两个交叉点显然是可以去掉的，也就是那两个圈可以去掉。

那现在问，如果允许随意安排剩下三个交叉点的上下关系，这联通logo能还原成一个平凡结吗？你稍微看一下会发现，是可以。但是如果问，是否存在对那三个交叉点的某种安排，使得它不能还原成圆环呢？你会发现，这三个交叉点的上下关系，有8种组合，每一种都考虑一遍的话，那是相当麻烦，更不用说更复杂的结了。所以，不能简便判定一个结的最少交叉点数，是“交叉点数”作为扭结不变量的一个缺陷。

还有一个缺陷是，相同的交叉点数下，存在很多不同的扭结，而且交叉点越多，不同的扭结也越多。这也意味着交叉点数并不能很好的区分扭结，所以这是另一个缺陷。

在扭结理论历史上，有两次重大的关于扭结理论的突破。第一次是1928年，美国数学瓦德尔·亚历山大提出了一个扭结不变量，称为“亚历山大多项式”。并且他证明了，如果两个结可以互相转化，那么它们的这个特征多项式就可以互相转化。这样判定两个结是否等价就容易多了，因为多项式化简大家都会的，这要比直接看图形方便多了。所以这是第一个重大突破。亚历山大本人也对很多扭结进行了分类，给出了一个列表。

1970年代，英国数学家，约翰·康威又独立发明了一种“亚历山大多项式”的变体和另一种表示法。所以，这个多项式有时也被称为“亚历山大——康威”多项式。康威表示法的一个优点是书写简便。

但是亚历山大多项式也有些缺陷，少数情况下，不同的结仍然会具有相同的亚历山大多项式，特别是一个结和它的镜像，必然有相同的亚历山大多项式。比如你打一个三叶结，再拿面镜子，你会看到镜子的三叶结的镜像。它们肯定有许多相同的性质，但是你把一个三叶结无论怎么变换，你也没法把它变成它的镜像，所以，从这个意义上说，三叶结和它的镜像是两种结，但是亚历山大多项式是无法区分它们的。

一个更极端和让人吃惊的例子是平凡结，平方结的亚历山大多项式是“1”，但是还有一些其他看上去相当复杂的结，它的亚历山大多项式也是1。这是亚历山大多项式的一个缺点。

(上图：以上这个名为"Pretzel knot (-2 3 7)"的结的亚历山大多项式也是”1“，它有很多有趣且出人意料的特点)

扭结理论的再一次重大突破，是在1984年。新西兰数学家沃恩·琼斯（Vaughan Jones，1952年12月31日－2020年9月6日），发现了另一个扭结不变量，现在成为“琼斯多项式”。这个多项式在区分和表达扭结的能力上比“亚历山大多项”式更好。

（上图：一些结的多项式表示）

更为奇妙的是，在琼斯发表了琼斯多项式之后不久，美国物理学家爱德华·威腾（Edward Witten）发现了琼斯多项式与量子场论之间有着奇妙的联系。爱德华·威腾的名字，相信很多读者是很熟悉的，他是弦理论和量子场论的顶尖专家，并且是“M理论”的创立者。而M理论是目前一种比较有希望的“大统一理论”候选者。

(上图：美国物理学家爱德华·威腾, 1951 -)

爱德华·威腾发现琼斯多项式可以运用到量子场论里，这个发现是如此让人遐想连篇：难道宇宙的微观结构中存在一个个扭结？

不管怎样，琼斯和威腾的发现也是如此重要，使得二人双双在1990年，获得了数学界的最高荣誉之一：菲尔兹奖。这次菲尔兹奖有两个不寻常之处，一个是威腾是目前仅有的以物理学家身份获得菲尔兹奖的人。琼斯则被认为是以最短的论文，获得菲尔兹奖的人。琼斯的关于琼斯多项式的论文一共就8页，其中有4页是一些扭结的多项式数据表格和引用之类。论文实际内容也就4页。仅凭4页的论文获得菲尔兹奖也是绝无仅有的例子。

那么以上我们简单聊了扭结两种多项式表示的不变量：亚历山大多项式和琼斯多项式。下面我再简单聊聊扭结的另外一种有趣的性质：扭结的分解和加法组合。

这里先得定义结的组合，也经常简称为加法。其实可以想象结的加法就是设法把两个结连接起来。把结连起来的方法有很多种，所以我们需要精确定义，避免产生歧义。那么数学中结的加法是大概这样的：

（结的“加法”：把两个结尽量放平在桌面上，互不重合。在两个结之间，找某个比较靠近的部分，画一个矩形。要求矩形两对边分别在两个结上，矩形本身不覆盖任何结。在矩形两对边处，各剪一刀，得到4个开放端，上面的两个开放端连在一起，下面的两个开放端连在一起，就得到了一个新的结。这个结称为原先两个结的”连接和“（connected sum）。图片来源：维基百科）

此加法定义马上带来的一个有趣问题是：两个结的加法结果是否是唯一的？以上定义只说了选择靠近的两部分进行连接，所以连接的位置是可以任意选择的。那么连接不同的部分，所得的结是否仍然一样？还好数学家证明了，在严格的定义下，这种加法的结果是唯一的。

结的加法有了，那么它的逆操作就是结的分解。有了组合和分解操作后，一下子就可以考虑很多有意思的问题。结的加法有没有交换律和结合律？答案是肯定，你可以自己做些实验验证。

还有一个“显然”的结论是：一个结加上平凡结，所得结果是其本身。那么是否存在两个或多个非平凡结，它们相加后变为平凡结呢？可能有人会有这种想法：一个结加上它镜子里的图像，两者就会互相“抵消”，最后变成一个环呢。但答案有点意外，是否定的。这是1949年，数学家舒伯特（Schubert）证明的：一个非平凡结，无论再给它加上怎样的结，也没法对它“抵消”，最后变成一个环。

再说两个有关结的加法的有趣例子：三叶结的相加。三叶结是最简单的非平凡三叶结。三叶结加三叶结所得图形被称为“granny knot”，我叫它“老奶奶结”。

三叶结+三叶结的镜像所得结，称为“square knot”，中文叫“平结”。这个“平结”知道的人应该更多些，因为这是很实用的一种捆扎方式，急救时也经常用平结来固定绷带。而这个老奶奶结和平结也是攀岩运动中，非常实用的两种结的类型，我相信玩攀岩的和海员，应该对这两种结很熟悉。

平结和老奶奶结具有相同的亚历山大多项式，但琼斯多项式可以区分它们。

再看看结的分解，就更有意思了。结的分解就是结加法的逆运算。显然，存在这样一些结，对它们没法分解了。如果继续分解，也只能分出平凡结，比如三叶结。那么对这种没法分解的解，数学家给它起了个名字（也许你猜到了）：“素结”（Prime Knot）。

这里，我们可以把结想象成整数，平凡结想象成数字1，结的分解想象成质因数分解，那么“素结”就像素数，所以命名为“素结”。

这就马上带来一个有意思的问题：结的世界中，有“唯一因子分解定理”吗？也就是，当一个结不是素结，而是一个“合结”的时候，把这个“合结”分解为若干素结的组合，那么分解结果是唯一的吗？

答案是肯定的，1949年，还是数学家舒伯特证明了（把结的方向定向之后），合结的分解结果是唯一的。

那有没有一个办法判定一个结是素结呢？答案如同质因数分解，目前没有一个简单的方法或者快捷算法，判定一个结是否是素结。所以，给定一个结，如何对其“素结分解”也就是一个比较困难的问题。由此，甚至有人设想可以用“结”，构造一个非对称加密体系。

好了，以上就是我给大家讲的扭结理论的一些入门知识，主要是亚历山大多项式和琼斯多项式，它们都是“扭结不变量”，而琼斯多项式还与物理中的量子场论有关系，并且琼斯因此获得了菲尔兹奖。后半段讲了扭结的加法和分解操作，扭结在这方面的很多性质与整数的质因子分解很像。扭结理论的起因是非常简单，就是来源于人们希望对“结”进行分类和整理，但衍生出的话题确实非常之多，甚至于物理学中最前沿的理论联系起来，不得不令人叹为观止。

https://www.britannica.com/science/knot-theory

https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/unreasonable-effectiveness-of-knot-theory

https://knotinfo.math.indiana.edu/descriptions/gauss_notation.html

https://mathworld.wolfram.com/KnotSum.html

https://mathworld.wolfram.com/GrannyKnot.html

https://mathworld.wolfram.com/SquareKnot.html

https://graphics.stanford.edu/courses/cs468-02-fall/projects/desanti.pdf

http://katlas.math.toronto.edu/

https://knotinfo.math.indiana.edu