玩一场量化投资：验证凯利公式投注欧洲杯（上）

文丨地产三哥

说明：本文为验证凯利公式的游戏，游戏，只是游戏。重要的事情说三遍。

伽利略通过对赌博问题所作的概率计算，最先创立了概率理论。

1620年他应一位贵族的邀请，研究了有关掷骰子获胜的机遇问题。问题是在投掷三颗骰子时，为什么和数10、11出现的次数比和数9、12多?

伽利略对此问题进行了数学化思考，写出了《关于掷骰子游戏的思想》一文：他以列举法得到和数10和11及9和12的所有方式，证明：在掷三颗骰子的所有216种组合中，有27种方法可以得到和数10，但是只有25种方法得到和数9。

这就解释了10比9较常出现的原因，因此，伽利略也被尊为概率理论的创立者。

2021欧洲杯已经过半，作为合法的博彩活动，中国体育彩票的竞彩足球也如火如荼、为广大群众所喜闻乐见。

各大视频网站的直播间里面，讨论足球技战术的少，足球八卦的少，讨论竞彩输赢的多。

买胜平负，买比分，买半全场……

有人赢有人输，进会所、搂嫩模者有之，砸电视、上天台者有之，几家欢乐几家愁。

竞彩足球，吸引人的地方有两点：

第一、队伍有强弱之分，所以有胜负的基本面作为下注参考。第二，绝大多数情况下，规模越大、层次越高的国际比赛，比赛被人为控制的可能性越小，相对更加公平公正。

假如每天给你一万元，投注竞彩欧洲杯的比赛，你会选择怎样的策略来下注呢？输赢会怎样呢？

本文主要讨论：

按最大概率可能出现的比赛胜平负结果（即赛前赔率最低的结果）下注，按照三种不同的投注方法下注，盈亏情况如何？

第一种投注策略：每场固定投注1万元。

第二种投注策略：每天投注1万元，按场次平均分配下注额。

第三种投注策略：每天投注1万元，按凯利准则确定下注额。

以下为实证内容。

一、按照最大概率可能出现的赛果每场等额投注

中国体育彩票的竞彩足球，对于每场比赛的三种结果：胜、平、负都会开出不同赔率，赔率越低的结果出现的可能性就越大。

比如开幕战：意大利对土耳其，赛前最低赔率的结果是意大利胜、赔率1.32，如果在竞彩足球下注1万元，意大利胜，则赢得13200元，净得3200元。

如果每场下注额一万元，按照最低赔率的赛果（也即最可能出现的赛果）投注，到今天6月21日为止，总下注额26万元，26场比赛盈利16100元。

具体如下：

（表中赔率数据来自中国体彩竞彩足球）

二、按照最大概率可能出现的赛果每日等额投注

每天给你一万元，按照当天的比赛场次平均分配投注：今天一场比赛就全部下注、额度一万；今天两场，平均每一场次投注额5000元；今天三场，每一场次投注额3333元。

按此投资方式，到今天6月21日为止，是盈利还是亏本呢？

（表中赔率数据来自中国体彩竞彩足球）

按此投注方式，到今天6月21日，一共26场比赛，总下注额10万元，盈利4533元。

三、赌徒困境与凯利准则

博彩，就是一个彩民与一个拥有无穷财富的庄家进行博彩。

形式很简单；彩民先下一些注，然后用用类似于掷一枚硬币的方式来决定输赢，硬币的正反就是比赛的结果。

为了显示庄家的大度，这枚硬币正面朝上的可能性会大一点，比如正面出现的概率在60%。

就像欧洲杯的足球比赛中，总有强弱之分，强队的赢面肯定大一些。打个不恰当的比方，比如葡萄牙对中国，C罗晃过张琳芃的概率，一定高于武磊突破佩佩的概率。

假设这样的赌博反复不断地进行下去，赌徒每次下多少赌注才能使自己赢得尽量多的去金钱呢？

因为投注赔率更低的赛果，简而言之，强队获胜的概率大于输掉的概率，如果只是为了赢，每一次都要倾其所有的下注（公式略）。

可是，谁都知道，孤注一掷是一种很冒险的行为。只要一次失败，赌客必然会把自己的老本全部输。久赌必输是数学公式，也是常识。

如果为了不输，赌客每次必须下尽可能少的赌注，少到赌场所规定的下限，或者少到最小的货币单位（公式略）。不赌不输是数学公式，更是常识。

但这样一来，彩民可能赢到的钱也少得十分可怜了，这又有悖于彩民参加竞彩的初衷。

这就是彩民的“赌徒困境”的两个极端：

想要赢得多，挑选最把稳的结果下重注。可是一次错误就血本无归。

比如6月20日西班牙V波兰这一场，中国体彩竞彩足球游戏中西班牙赢球赔率只有1.19，某国际博彩网站西班牙获胜下注额占该场比赛总投注额的92%，结果双方打成了1：1平，如果彩民压重注搏西班牙胜，必然要“上天台”。

想要输得少，就尽量少的投注或者不投注，但博彩的乐趣也就没有了。

这背后都有概率论相关的数学公式支撑，只是一个求解最大值的问题，在此不详细叙述了。

四、凯利准则下注的实证研究

1956年，凯利（J．L.Kelly）提出了一种能解决上述“赌徒困境”的方法，后人就把这种方法中用到的优化准则称为凯利准则。

凯利准则用于上述赌博问题的基本思路是这样的：

既然"孤注一掷"的策略很有可能导致老本输光，那么作为一个老练的赌客，每次绝对不能把身边所有的金钱都下作赌注，而只能是它们中的一部分。

到底应该是多少呢？

凯利公式认为：

对于简单的投注，有两个结果，一个涉及失去整个金额投注，另一个涉及赢得投注金额乘以支付赔率，凯利赌注是：

f=[p(b+1)-1]/b=bp-q/b

其中：

f是当前下注资金占总资金的比例；

b是赌注上收到的净赔率（赔率1.5表示，b=1.5-1），也就是说，投1元赢得0.5元。

p是获胜的概率；

q是失败的概率，也就是1−p；

按照凯利公式，如果彩民对一场球最有可能出现的结果下注，下注的资金占总资金的比例是可以计算出来的，只要下面两个条件已知即可：

b：即赔率减去1，每场球每个赛果的赔率都是公开的，是已知的。

p：最可能出现的比赛结果的投注额占总的投注额的比例是公开的，是已知的。

据此，对已经结束的26场2021欧洲杯比赛模拟投注，选择每场比赛赛前赔率最低的结果，每日一万元的投注额，按照凯利公式确定每场比赛的投资比例，即f值。

因为比赛结果已经出来了，其投资回收情况、盈亏情况计算如下：

（表中赔率、投注额占比为某国际网站数据）

按照凯利公式投注，26场比赛下来，总投注额10万元，盈利19266元。

五、结论

显然，2021欧洲杯的26场比赛之后，在这三种投注策略中，按照凯利公式进行投注获得回报最大。

此外，按照凯利准则投注，最高峰的实际资金使用量也是最低的。

本文中假设的投注背景：

1、只针对截止2021年6月21日的欧洲杯比赛，共26场。

2、假设只对最可能出现的赛果下注，即赛前赔率最低的赛果下注。

3、上表中参考赔率为某国际网站赔率，非中国体彩竞彩足球赔率。按照中国体彩的竞彩足球赔率，大约凯利准则下赢得的奖金打个八折。

4、体彩-竞彩足球至少是两场比赛串联投注（2串1），增加了投注难度。本表中盈亏结果均为单场投注的结果，仅作为假设下的实证研究。

六、凯利公式与量化投资

本文只是针对凯利公式的一个极其简陋的、理想化的应用。

凯利公式是量化投资的基石公式之一。

概率论专家爱德华·索普曾凭借自己的21点制胜理论和凯利准则，被拉斯维加斯的赌场列为禁入对象。

索普是第一个采用系统数学理论分析进行基金投资的经理人，他被誉为天才数学家、赌博专家、“宽客之父”（或量化投资之父）。

1959年，27岁的索普带着自己的21点制胜理论，找到香农（信息论创始人），香农帮助索普的《21点的有利策略》在《美国科学院院报》（与Science、Nature齐名的学术刊物）发表。

关于如何下注的投注策略的理论，索普学习了凯利1956年提出的的凯利公式。

1961年，索普被媒体报道后成名，两位黑道大哥甚至想出资10万美元资助他去赌场验证理论的正确性。索普觉得1万就够了，结果索普和两位粉丝在几天内用21点制胜模型“血洗”了拉斯维加斯的好几家赌场，1万美元瞬间翻了几番。

1961年前后，美国拉斯维加斯的各赌场联合发布禁令，禁止马萨诸塞理工学院的概率论专家索普（E.O.Thorp）进入这些赌场进行娱乐，原因是索普研究并完善了许多如何在二十一点纸牌赌博中取胜的策略，使得这些赌场的庄家们连遭败绩。

索普于1961年出版了他的著名专著《打败庄家》（Beat the Dealer），系统介绍在许多赌博游戏中取胜的策略及其数学理论。

1965年，已经不屑于拉斯维加斯的索普瞄准了人生的下一个舞台，他把目光投向了世界上最大的赌场：华尔街。

量化投资自80年兴起，经历了整个90年代的“黄金十年”，量化投资在与传统基本面投资的较量下独占鳌头，成为了金融投资行业必不可少的基本工具。

2016年全球收入最高的10位对冲基金经理中有8位被归为量化基金经理。

当然，无论是博彩还是量化投资，都不能只看一次交易的结果，而是要有充分的交易次数作为背景，也就是“大数效应”。

所谓大数效应，就是投无数次硬币，统计学上正面和反面出现的次数会各占一半。但是，每次投硬币都是一个随机的独立事件，和统计学上的正反总量的分布没有关系。

最后

今晚是2021欧洲杯6月22日的比赛，假设按照每日一万元的投注额，其模拟投注额分配如下：

待比赛结束之后，看盈亏如何？

2021年欧洲杯尚有25场比赛，待全部比赛结束之后，笔者将再次验证凯利公式投注策略。

说明：本文为数学游戏，笔者对数学是一知半解。只是单纯验证凯利公式作为量化投资的基础公式的有趣性，不作为任何博彩、投资的依据。