在这篇文章中，我将试着求出半满的以恒定角速度旋转的水桶内自由水面的形状。因为我要研究的是运动速度比光速小得多的系统，所以可以忽略相对论效应。推导基于牛顿运动定律。
《原理》于1687年首次出版，随后在1713年和1726年出版了两个改进版。美国版出版于1846年。第83页包含了“牛顿运动定律”的陈述，如下图所示。这篇文章是基于《牛顿力学原理（包括非线性动力学）》一书。
- 图1:《原理》扉页和第83页“牛顿运动定律”。
加速参考系中的运动学
一个在惯性坐标系I中任意运动的物体的运动方程是什么？用运动坐标系S中的坐标表示。
我们的第一个目标是找到在运动坐标系S中表示的牛顿第二定律。注意，S的任何运动都可以通过I的原点的平移和S绕其原点的轴的旋转的组合得到。
- 图2：坐标系S，相对于惯性系I任意移动。
我们首先设R为质量为m的物体相对于I的位置，r为物体相对于S的位置。要找到S坐标下的牛顿第二运动定律，我们首先需要得到I和“S的加速度”之间的关系。
m在惯性坐标系下测量的速度和加速度矢量为：
- 式1：m在惯性坐标系I中测量的速度和加速度矢量。
m在运动坐标系中测量的速度和加速度矢量为：
- 式2：在运动坐标系S中测量的速度和加速度矢量。
注意，因为我们用的是牛顿力学，时间的度量不会从I变到S。
如图2所示，物体在I中的位置可以写成：
- 式3：物体在坐标系I中的位置。
对式3微分两次，经过代数运算，得到如下表达式：
- 式4：相对于S的总加速度的分解。
式中，a为物体对S的加速度，右边的三项分别为：
- I和S之间的相对加速度。
- 物体相对于惯性系I的加速度，如果物体在S中的瞬时位置(x, y, z)处于静止状态（这就是所谓的共动加速度）。
- 科里奥利加速度（科氏加速度）。
- 图3：在惯性参照系中（上），黑球呈直线运动。然而，由于科氏加速度和离心力存在于旋转参照系中（下），观察者（红点）看到的是一个弯曲的路径。
a的三个组成部分有以下形式：
- 式5：式4中三项的表达式。
我们可以用ω和dω/dt重新写出式5的第二和第三行，其中ω是坐标系S的角速度：
- 式6：用角速度和时间导数表示的共动加速度和科氏加速度。
- 图4：离心力和科氏力在S坐标系中的方向。
加速度的第二项可以写成：
- 式7：离心加速度。
加速参考系中的动力学
我们现在将牛顿第二定律表示为参照系S中的观察者所看到的。我们假设作用在物体上的力在两个参照系中是相同的。因此：
它给出了S中的牛顿第二定律：
- 式8：从S观察到的物体的运动方程（牛顿第二定律）。
为了使牛顿第二定律在S中成立，我们把式8右边的后四项解释为虚拟的力。
旋转桶
我们现在考虑一个装一半水的桶，以角速度ω绕其对称轴旋转（水会慢慢跟着转动）。为了求出水面的形状，我们按以下步骤进行。
- 图5：在惯性参照系I中，桶在旋转。最终，相对于水桶，水是静止的（和桶一起转动）。在同样以角速度ω旋转的非惯性参照系S中，水桶和水处于静止状态
在同样以角速度ω旋转的非惯性参照系S中，桶处于静止状态。过一段时间后，水就会相对于水桶静止下来。
考虑一个质量为m的体积单元。作用在它上面的力是：
- 重力
- 离心力
来自压力梯度的力
因为质量在旋转坐标系S中是静止的，所以在S中这些力的总和必须为零：
- 式9：非惯性参照系中水单元的平衡方程。
第二项的二重积可改写为：
因此，平衡方程的分量为：
- 式10：非惯性参照系S中平衡方程的分量。
积分后得到：
- 式11：对式12积分后得到的压力P。
对于定压曲面，式11给出：
- 式12：水面是一个抛物面。
我们得出结论，水桶中旋转水面的形状是抛物面。
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