灵魂的数学，不仅是文化产出，也塑造了文化

作者：林从一（台国立成功大学副校长）

　　本书的主旨就是书名。单维彰老师的《文化脉络中的数学》并非科普而是数学通识，科普是普及专门知识，而通识关心知识的融通，以及知识对于我们的生命与生活所产生的意义。

　　单老师认为，数学是一种语言，一种非常精确的语言，人们使用数学语言与自然对话、与艺术对话、与文学对话、与生活对话、与文化对话、与教育对话、与文明进展对话、与民主对话、与爱情对话。单老师领著我们，聆听数学与各种领域的对话，层层叠叠、抑扬顿挫、从天上来，从心灵起，让数学融通了生命与生活，从而让读者有了属于自己的数学声音。

　　本书碰触到心灵，但未及深谈。让我以本书的主调述说灵魂的数学，续貂为之序。

　　数学如何描述灵魂？这里灵魂指的是「有格有调的心灵」。

　　莫里茨·科内利斯·埃舍尔

　　灵魂中住着埃舍尔（M·C·Escher)《圆极限IV》里的天使与代表邪恶的蝙蝠，而住在灵魂中天使与蝙蝠最大只，越往边缘天使与蝙蝠越小只，但数量越来越多，在最边缘处已看不清楚有多少只，虽然我知道有无穷多只。灵魂边缘幽暗不明之处，住着无数的邪恶，想想真让人绝望，让人提心吊胆；但灵魂边缘也住着无数的天使，想想岂不让人充满希望。人总是会比你可以想像得到的坏，还来得坏，但是，所幸，人总是会比你可以想像得到的好，还来得好。

　　灵魂的最扭曲的变形模式是连续渐变，但是灵魂最令人惊细的演化模式也是连续渐变。只需改变一点点，每次都改变一点点，放弃了、不改回头，没多久立体的都能变成平面的。但，每次只需改变一点点，坚持住、安顿了，没多久平面的也能变成立体的。灵魂渐变最重要的是方向与坚持，初心决定了方向，剩下的就只需一点点坚持所产生的惯性与习惯。困难的是初心，以及该坚持的是哪一种初心。但是一旦怀疑初心，不知不觉中就会陷入立体与平面来来回回的无尽循环中。

　　在缺乏深度的灵魂中，背景与前景的相互镶嵌，互作背景与前景，思绪与感觉不断浮现与隐没。

　　▲ 一个彭罗斯阶梯(图自维基)

　　灵魂在潘洛斯阶梯（Penrose stairs）走远一点，就会同时遇到年老的自己和年少的自己，一个自己、三个灵魂相遇。这是错觉，不可能发生。但是，错觉发生了，不可能的事也会发生。

　　无法证明自己的灵魂如何认证衍生的真理呢？没有基础的公设如何指控虚假的定理？当灵魂开始怀疑自己，开始寻找自我的基础时，过去它相信的所有真理都将开始动摇。结论不应该是怀疑论，所明白的应该是：不是所有真理都需要进一步的证成，无须怀疑的就不需要理由来支持。

　　灵魂是 N+1 度空间体在 N 度空间的展开，重点是展开。

　　你的灵魂入口是隧道入口的那面黑，还是隧道尽头的一圈光芒？进入灵魂的那些夜晚，是睡不着的夜晚（sleepless nights)，还是舍不得睡的时刻(wakeful hours）？

　　曹操的灵魂有厚度，他认为，探究人生意义，最重要的是数学，而且越早学越好，否则追悔不及。曹丞相的〈短歌行〉：「对酒当歌，人生“几何”，譬如朝露，去日苦多。」

　　徐光启认为《几何原本》是人人必备的基本素养，他说「学理者，怯其浮气，练其精心。学事者，资其定法，发其巧思。举世无一人不当学。能精此书者，无一事不可精。好学此书者，无一书不可学。」心灵是万物函数，但前提是心灵要精通数学。单维彰老师认为数学是一种语言，我认为语言是一种器官，所以数学是一种器官，学会一种数学就是获得一种器官，让你能感知到你先前无法感知到的世界。数学是一种语言，而语言让原先隐蔽的世界开显出来。

　　有人说最美的等式是欧拉等式(Euler's formula)：e^（πi)+1=0，因为欧拉等式是如此的简单，但又是如此的优美与神秘。欧拉等式的构成要素是数学中最基本的五种元素：e 称为欧拉数（Euler's number），它是自然对数的底；i 是单位虚数，有虚的根本，它的平方是负 1；1 是算术的开始；0 是哲学上最基础的自然数，它是位值记数法不可或缺的占位记号；π 是圆周率。其中，π 与 e 都是无理数，小数点之后会出现永无止境且绝不循环的数字。

　　欧拉等式的美，小川洋子说得最好：「永无止境地循环下去的数字，和让人难以捉摸的虚数画出简洁的轨迹，在某一点落地。虽然没有圆的出现，但是来自宇宙的 π 飘然地来到 e 的身旁，和害羞的 i 握着手。他们的身体紧紧地靠在一起，屏住呼吸，但有人加了一之后，世界就毫无预警地发生了巨大的变化。一切都归了零。

　　我认为灵魂中最美的等式是 1=0.999…（0.9 的无限循环〕。

　　绝大多数人会说，0.999… 不会等于 1，0 后面的 9 无论有多少，就是到不了 1，0.999… 与 1 之间就是存在着差距。然而，这个许多人都有的直觉，却是个错误的直觉。

　　假设 1 大于 0.999…，1 与 0.999… 之间存在着差距。假设 0 后面的 9 循环到小数点后第 n 位数停止，这 n 位数上的 9 与 1 之间差距无论有多小，都一定可以分成 10 等份，如此其中的 9 等份可以作为第 n+1 位数的 9，那么 0.999… 就不能停在第 n 位数上，同理可证，它不能停在任何一位数上，因此我们不能假设 1 与 0.999… 之间存在着任何差距。换句话说，如果 1 与 0.999… 之间存在着任何差距，那么你说的 0.999… 就不是真正的 0.999…。如果你说的是真正的 0.999…，它与 1 之间就不存在任何差距，0.999… 必等于 1。

　　0.999… 看似不足 1，但是它小数点之后的永不止息的 9 使得它必须是 1，它是实实在在的百分之一百。

　　0.999… 看似永久追寻著 1，但是正是这永久不懈的追寻，让它俩合一。不过，虽然 0.999… 原本与 1 就是一体的，但是，0.999… 还是要让自己永不止歇地追求 1。所有灵魂真诚的追求都是 0.999…=1。

遇见君：之前曾在公号上介绍过台湾国立中央大学单维彰教授所讲述《文化脉络中的数学》通识课程，现在同名书籍已在海峡对面正式出版。本书所涉及的文化领域，包括语言、文学、历史、艺术、电脑、选举、教育、宗教与信仰等，作者以说故事的方式，一层一层慢慢展开论述：以文艺创作旁敲数学、用邮票来述说数学的大历史、藉由人物传记谈世界的数学发展史跟我们自己拉上更亲近的关连，并针对切身熟悉的文化活动来阐述数学的角色，从而让读者体认到数学学习的真正价值及趣味。✪ 本书在内地尚未有简体版，如果有出版社乐意引进，实属是美事一桩。