实数有多少个？连续统假说，当代集合理论中最重要的假说

有多少个实数？康托对连续体大小的探究激发了现代集合论的惊人发展，并影响着哲学辩论，一直持续到今天。

连续统假设

什么是连续统假设？简单地说，连续统假设是关于某些无穷数的表述，即所谓的基数。有限基数我们非常熟悉：0，1，2，3，…他们回答了“有多少？”的问题，如“这个方程有多少个解？”或者“这个集合有多少个元素？”

事实证明，有限的基数是不够的，一个方程可能有无穷多个解，一个集合可能包含无穷多个数。乍一看，似乎答案是一个“数量”，在这种情况下，就是无穷多个。然而，康托在1879年证明了，证明了实数比自然数要多。

实数的集合和自然数的集合都是无限的。那么我们怎么能说实数比自然数多呢？康托证明了不可能把每个实数都分配给每个自然数。换句话说，每次这样的赋值都会留下许多实数未赋值。(从数学上讲，没有从实数到自然数的映射。)

这一发现具有重大意义，至少存在两个不同的无穷大，一个比另一个大。而且，事实证明无限数比有限数多得多。无限基数（超限基数）用希伯来字母א‎表示。

最小的无限基数是א‎0。这正好是自然数集合的大小。下一个更大的基数是א‎1，然后是א‎2，א‎3，以此类推。‎实数集合的基数是多少？康托在他著名的连续统假设中阐述了一个可能的答案。这是一种说法：

每一个无限实数集合要么是自然数的大小，要么是实数的大小。

连续统假设实际上相当于说实数的基数为א‎1。如果连续统假设是假的，这意味着存在一组实数比自然数大但比实数小。在这种情况下，实数集的基数必须至少为א‎2。

多年来，数学家们试图确定连续统假说是对还是错。这个问题非常紧迫，以至于大卫·希尔伯特在1900年发表的23个问题列表中，把它列在了第一位。但直到20世纪30年代才取得重大进展。

哥德尔在1938年证明了连续统假设与集合论的ZFC公理是一致的。哥德尔表明，在这些公理中加入连续统假设并不会产生矛盾。这还远远不能证明连续统假设是正确的。这种证明将描述连续统假设的真理如何遵循集合论的公理。

ZFC系统中有下列10条非逻辑的集合论公理：即外延公理、对偶公理、空集公理、子集公理、并集公理、幂集公理、无穷性公理、选择公理、替换公理和正则公理。——百度百科

哥德尔通过构造一个集合论的世界来证明他的一致性结果，在这个世界中连续统假设是正确的，即所谓的可构造全集（可构造集全域）。从这个全集的存在，我们可以了解更多关于连续统一体假设的情况。假设有证据证明集合论的公理，连续统假说是错误的，由于集合论的公理在哥德尔的可构造全集中成立，因此在这个全集中连续统假设必然是错误的。但是哥德尔证明了这是正确的，因此产生了矛盾。

哥德尔的一致性结果因此意味着无法证明连续统假设是错误的。但我们能找到证据证明它是正确的吗？

人们又花了将近30年的时间才回答了这个问题。保罗•科恩在20世纪60年代证明，连续统假说是错误的，这与集合理论的公理是一致的——他因此在1966年获得了菲尔兹奖（Fields Medal），这是数学家的最高荣誉之一。

为了证明这一结果，科恩发明了一种构造集论宇宙的新方法。利用这种方法，他构造了一个集论宇宙，其中连续统假设是错误的。就像在哥德尔的例子中一样，这个结果意味着从集合论的公理中无法证明连续统假设是正确的。

这给我们带来了什么？结合哥德尔和科恩的这些结果，我们知道，从集合论的公理中，既不能证明连续统假设是正确的，也不能证明连续统假设是错误的。也就是说，连续统假设独立于集合论的公理：这些公理没有强大到决定连续统假设是真还是假。

我们能解决连续统假说吗？

直到今天，哥德尔和科恩的研究影响了当代集合理论和围绕它的哲学辩论。每天，集合理论家都在利用哥德尔和科恩开发的方法建立新的集合理论全集。但这只是数学方面的。

一场至关重要的哲学辩论仍在进行，康托的连续统问题的答案是什么？连续统假设是正确的吗？毕竟，哥德尔和科恩的结果只是表明，不可能从集合论的ZFC公理中找到证明。所以也许答案还在外面？

一些集合理论家相信他们可以找到集合理论的新公理，这将允许数学家解决连续体假说。这些集合理论家相信，只有一个真正的数学宇宙。在这种宇宙观下，每个数学命题要么是对的，要么是错的。所以，为了了解连续统假设是否正确，我们只需要找出更多关于这个数学现实——数学宇宙的信息。

并不是所有的理论家都相信刚才描述的宇宙观。牛津大学逻辑学教授乔尔·哈姆金斯（Joel Hamkins）认为，有许多同样重要的集合论宇宙。由哥德尔和科恩开发的方法，以及世界上其他许多人进一步发展的方法，允许集合理论家窥视到迥然不同的数学宇宙。根据哈姆金斯的理论，所有这些宇宙共同构成了集合论的多元宇宙。

在这个多元宇宙的观点中，真正的集论宇宙不是一个，而是很多。在某些宇宙中，连续体假说是正确的。在另一些情况下，这是错误的。哈姆金斯因此认为连续性问题得到了解答：

我认为，连续统一体假说是基于多元宇宙的观点，我们对多元宇宙的行为有广泛的了解。——乔尔·哈姆金斯

集合理论家已经积累了广泛的知识，关于连续统假设如何在集合理论的许多不同的宇宙中表现。他们能准确地理解什么时候是对的，什么时候是错的，以及连续体的大小。在哈姆金斯看来，这些知识构成了连续统一体问题的答案——它不是简单的“是”或“不是”。

你觉得呢？我们应该找出连续统一体假说是对还是错？还是我们已经知道了所有该知道的东西？连续体假说仍然是当代集合理论中最激动人心的争论之一。