“共根抛物线”下的相似三角形存在性探究

“共根抛物线”下的相似三角形存在性探究

在二次函数综合压轴题中，相似三角形的存在性探究是常见的考点，通常情况下，这类问题的解决需要确定三角形形状，再确定构成三角形的顶点位置，无论哪种三角形的存在性，都是根据已知顶点来探求未知顶点，所以对已知顶点和边长的位置、数量关系，要结合题意分析透彻。

“共根抛物线”不过是背景，与新定义题型相比，对它的理解要求并不高。

题目

在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”.如图，抛物线L1：y=1/2x²-3/2x-2的顶点为D，交x轴于A、B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P.

(1)若抛物线L2经过点(2,-12)，求L2对应的函数表达式；

(2)当BP-CP的值最大时，求点P的坐标；

(3)设点Q是抛物线L1上一个动点，且位于对称轴的右侧，若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点的坐标.

解析：

方法一：将抛物线L1与x轴的两个交点求出，分别是A(-1,0)，B(4,0)，再加上L2经过的点(2,-12)，用待定系数法求函数表达式，为y=2x²-6x-8；

方法二：将抛物线L1化为交点式，为y=-1/2(x+1)(x-4)，设L2函数表达式为y=a(x+1)(x-4)，再代入点(2,-12)，求出a=2，所以L2的函数表达式为y=2x²-6x-8；

(2)

我们对两条线段和的最小值比较熟悉，将军饮马问题的变式嘛！然而对两条线差的最大值，却比较陌生，然而无论线段和与差，最大或最小值，其核心思路不变，就是将两条线段的和或差转化到某一条线段上。

基于这个思路，再来看本小题。

“共根抛物线”意味着这两个二次函数图像的对称轴相同，均为x=3/2，因此点P在对称轴上，点B和点C坐标分别是(4,0)和(0,-2)，是两个定点，说明可利用轴对称进行转化，恰好点A与点B关于x=3/2对称，所以BP-CP的值一定等于AP-CP的值，我们观察△APC，根据三边数量关系，可得AP-CP

求出直线AC解析式为y=-2x-2，将x=3/2代入，从而求出点P坐标为(3/2,-5)；

(3)

探索相似三角形存在性之前，我们必须先弄清楚△ABC的形状，毕竟它的三个顶点是固定的，方法一是求出其三边，AC=√5，BC=2√5，AB=5，满足勾股定理，所以∠ACB=90°，且两直角边之比为1：2，方法二是证明△AOC∽△COB，同样可证明这个结论。

那么对于△DPQ，一定是个直角三角形，且两直角边之比为1：2，接下来我们进行分类讨论：

△DPQ的三个顶点中，点D已知，为(3/2,-25/8)，点P在直线x=3/2上，其横坐标已知，点Q在抛物线L2上，已知条件最多的两个点是D和P，因此以DP为突破口。

第一类情况：DP为直角边；第二类情况：DP为斜边。

当DP为直角边时，直角顶点可能在D或P，但点Q在抛物线L2对称轴右侧，因此当我们过点D作DP垂线时，不可能与抛物线L2相交，所以直角顶点只可能是点P；

而当点P为直角顶点时，则点P不可能在点D下方，因为此时过点P作的垂线也无法与抛物线L2对称轴右侧相交；

两直角边关系可能是PQ=2DP或DP=2PQ，因此分成两种具体情况；

①∠DPQ=90°，且PQ=2DP，如下图：

设Q(t,1/2t²-3/2t-2)，则P(3/2,1/2t²-3/2t-2)，表示出PQ=t-3/2，DP=1/2t²-3/2t+9/8，得方程t-3/2=2(1/2t²-3/2t+9/8)，解得t=5/2或3/2(舍)，得到第一个P点(3/2,-21/8)；

②∠DPQ=90°，且DP=2PQ，如下图：

类似的，我们得到方程1/2t²-3/2t+9/8=2(t-3/2)，解得t=11/2或3/2(舍)，得到第二个P点(3/2,39/8)；

当DP为斜边时，我们可通过作DP为直径的圆，它与抛物线L2对称轴右侧的交点即为点Q，同样点P不可能在点D下方，否则圆与抛物线没有交点，这个圆作出来后，有一种情况如下图：

③∠DQP=90°，且PQ=2DQ

由于PQ与DQ是“斜”线段，不妨“化斜为直”，过点Q作PD的垂线，如下图：

很惊喜地发现，垂足不正好是第一种情况的点P吗？

对于Rt△DQP3，QP1是它斜边上的高，P3Q=2DQ，可得P1P3=2P1Q，借助前面计算出的结果，点Q横坐标为5/2，P1Q=1，则P1P3=2，所以点P3坐标为(3/2,-5/8)；

④∠DQP=90°，且DQ=2PQ，如下图：

再次惊喜地发现，P2坐标也能派上用场了，由第二个点P求得QP2=4，则P2P4=2，所以点P4坐标为(3/2,55/8)；

综上所述，点P坐标有四种情况，分别是(3/2,-21/8)，(3/2,39/8)，(3/2,-5/8)，(3/2,55/8).

解题反思

本题重点在于分类讨论，在第3问中，分类依据是“两线一圆”，即分别过点D和P作垂线，以DP为直径作圆，从而确定△DPQ的形状，但在实际求解过程中，圆并不好处理，所以需要转化成线段间的数量关系，因此化斜为直，利用相似三角形或三角函数解决，而且这是特殊直角三角形的存在性，两直角边之比为1：2，充分利用好这个特点，可以让解答过程更简洁。

由此联想到平时教学中，如何让学生想到分类，主要原因是不确定性，存在多种可能，例如相似三角形对应关系不确定、等腰三角形底与腰不确定等，在分类时，一定要注意分类依据，这要认真审题，从题目条件中得到依据，不仅要会读题，更要会作图、看图。

如果是给学生讲这道题，要给学生充足的时间作图尝试，特别是在DP为斜边时，圆一定要画，只有画出了圆，才有可能想到作斜边上的高，进一步联想到前面已经讨论出的结果，才可能会有惊喜发生，此时的圆，已然完成使命，不再需要了，“此时无圆胜有圆”。