第05讲：《空间曲面及其方程(一)》内容小结、课件与典型例题与练习

一、构建图形直角坐标方程的一般步骤

步骤1：根据实际意义，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。

【注1】当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如三重积分中讨论的柱坐标系、球坐标系等.

【注2】如果问题本身带有坐标信息，则绘制确定的坐标系，并根据坐标特征绘制草图.

步骤2：在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为 .

步骤3：依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建与点 相关的等式. 并转化为点 的坐标变量 的等式；或者通过适当引入参数，将点 的坐标变量 描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数.

步骤4：化简相关等式，得到仅仅包含任意点M坐标变量 的方程等式，也即为所求图形的方程.

【注】这里考虑的图形为曲面、曲线，方程（图形的数学描述形式）对于曲面一般为一个三元方程，或者三个坐标变量关于两个参数的表达式(参数方程)；对于曲线一般为两个三元方程，或者由一个参变量描述的三个坐标变量表达式(参数方程).

二、空间曲面及其方程相关的问题

1、曲面方程

• 曲面的一般方程

• 曲面的参数方程

2、相关问题

• 
  

  已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面的方程；如球面方程、旋转曲面方程的构建.

  
  

• 
  

  已知方程，研究它所表示的几何形状；如已知两个变量的方程，其描述图形为柱面.

  
  

1、旋转曲面的定义

一条曲线绕一定直线旋转所得的图形. 转动的曲线为母线，定直线为旋转轴. 母线不唯一.

2、坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得曲面的方程

所得旋转曲面方程可以由坐标面上描述曲线的方程直接改写得到：曲线方程中，旋转轴所在的坐标轴对应的变量不变，另一变量用其余两个变量的正负根号下的平方和替换. 比如：

这样形成的曲面的方程的特征是：方程可以描述为一个变量与另外两个变量的平方和表达式的结构，即具有这样结构的方程也就表示旋转曲面，并且旋转轴为单个变量所对应的坐标轴. 比如

所以它所表述的图形可以看成是由 面上的曲线

绕 轴旋转一周所形成；或者由 面上的曲线

绕 轴旋转一周形成.

3、常见旋转曲面

• 球面

0} \right) " data-formula-type="block-equation">

• 圆柱面

0} \right) \cr} " data-formula-type="block-equation">

• 圆锥面

0} \right) " data-formula-type="block-equation">

• 旋转椭球面

• 旋转双曲面

• 旋转抛物面

四、球面方程特征

球面方程是包含三个系数相同的平方项和一次项的三元方程，其一般结构和是否为球面的判定方法如下：

0 \cr} " data-formula-type="block-equation">

右边项大于0，则方程描述了一个球面.

五、球坐标系与柱坐标系

1、球坐标与直角坐标变量之间的关系及球坐标变量取值范围

注意 的范围根据 所在象限取反正切函数.

2、柱坐标与直角坐标变量之间的关系及柱变量取值范围

注意 的范围根据 所在象限取反正切函数.

【注】利用以上关系式将直角坐标方程转换为球坐标、柱坐标变量方程.

图形绘制方法参见推文：

• 在线计算专题(06)：绘制函数、方程与不等式描述的平面、空间图形

• 空间图形篇： 还有你不会绘制的数学函数表达式图形吗？

• 平面图形篇： 还有你不会绘制的数学函数表达式图形吗？

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

相关推荐

●高等数学、线性代数、概率统计等课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！

●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项

●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项

●全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下的在线课堂专题讲座选项了解！

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容