也聊反比例函数填空题中的“秒杀技”

也聊反比例函数填空题中的“秒杀技”

在学习反比例函数过程中，如果仅仅是基于教材例题或习题，对学生来讲十分轻松，因此会不由自主生成“这一内容很简单”的想法，然而在九年级复习阶段，一旦反比例函数和其它知识融合起来，复杂度便上升了，难度也有可能上升，所以在填空压轴题中，往往很喜欢用这一知识内容，难度不大，综合程度较高，并且存在一定解题技巧。

题目

如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点A的坐标为(a，2√3).将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=k/x(k≠0)的图象经过点A、D两点，连接OA、AD，则△AOD的面积是_____________

读题：

点A坐标作为出发点，展开对条件的联想，由于它是矩形ABOC的一个顶点，因此AC=OB=a，OC=AB=2√3，完成坐标向线段长度的转化；

线段OC绕点O顺时针旋转60°，这一句话实质上预示图中存在一个等边三角形，因此需要连接CD，得等边△OCD，并且承接上面的读题结果，可知它的三边长均为2√3；

反比例函数图象经过点A、D，前面点A坐标中有字母a未知，无法得到函数解析式，但点D呢？

欲求点D坐标，需要向坐标轴作垂线，不妨过点D作DE⊥x轴，如下图：

此时观察△ODE，它是一个含30°角的直角三角形，这下好办多了，迅速求出DE=√3，OE=3，于是点D坐标为(3,√3)，顺利求出反比例函数中的k=3√3，并且点A坐标为(3/2,2√3)；

继续读题，我们需要求△AOD的面积，在反比例函数中，与面积密切相关的是系数k，它的几何意义是图象上一点向坐标轴作垂线，所围成的矩形面积为|k|，即图中矩形OBAC，显然这与我们需要的结果还有距离。

但它一定与△AOD面积有关！

解析：

我们用割补法来转换△AOD面积，先看四边形OADE，它减掉△ODE的面积即为所求；

再看四边形OADE，它由△AOB加梯形ABED构成，其中△AOB与△ODE面积相同，均为1/2|k|，经过比较，结果就显而易见了，即△AOD的面积=梯形ABED的面积，前面已经求出了点A、D坐标，则这个梯形上下底、高均可求，顺利得到结果为9√3/4.

反思

上述解答过程中，主线是读题过程，大致沿这样的路线行进：矩形、点A坐标、旋转60°、双曲线上的点D、求△AOD面积。

其中矩形与点A坐标这两个条件主要指向是线段OC的长，然后经过旋转得等边△COD，转换至线段OD，再得到含30°角的Rt△DOE，从而求得点D坐标，再求反比例函数解析式，然后求出点A坐标，这些准备工作完成之后，再进行面积的转换，即△AOD与梯形ABED面积相等，最终求出结果。

九年级第一次检测过程中，特地观察了部分学生在这道题的思考过程：

A类学生尝试用含a的代数式表示点D坐标，直接忽略掉旋转60°这个条件，1分钟后放弃，换我也放弃了，后面条件根本不看，怎么继续推导？

B类学生成功找到了等边△COD，却不知道边长，显然刚刚条件中的点A纵坐标未能成功转换成线段长，或者线段OC既是矩形边长，也是三角形边长未能理解；

C类学生止步于求出点D坐标，甚至反比例函数中的k值，未能进一步求a值，主要原因在于未建立△AOD的面积的联系；

D类学生在使用割补法求△AOD的面积，重复在课堂上完成过的过程，其实这是填空题，这一过程如果能“封装打包”，效率一定会更高。

为什么要聊这种“秒杀技”？

实际它并不容易，背后涉及到诸多知识，矩形性质、旋转变换、等边三角形、特殊直角三角形、双曲线中k值的几何意义、割补法等，随便单独拎一处，相信问题都不大，但这些简单知识一综合，问题就大了。

究其原因有二，一是熟练度不够，二是理解深度不够。

熟练度的问题好解决，多练几回就行，然而理解深度不够，就不仅仅是通过练可以解决的，例如前面思考过程中，如何想到等边△COD的边长是2√3，需要的是对点A坐标的理解，我们在七年级学习平面直角坐标系的时候，对横纵坐标的几何意义同样讲解过，纵坐标的意义是点到x轴的距离，而矩形四个直角意味着垂线，垂线段和距离就产生关联了，这中间任何一个环节缺失，整个思路就跟不上，于是便会看到这样的学生，苦苦思索而不得。

在平时教学过程中，一些常见的结论，可以用于填空选择题，相当于将这些过程“封装打包”，即套路化了，这对学生利弊如何，暂时不多说，只聊对这些过程的看法。我依然坚定地认为，再经历一遍形成过程，对学生利大于弊。

要知道学生的思维还停留在成长阶段，过早将某些过程封装，会让学生养成不求甚解的习惯，这极不利于数学学习过程，演化极端情况就是“不考的不学”、“只要答案对就行”。

相对而言，我认为学生将这个过程进程加快一点，让思维快一些是可以的，虽然在外界看来，和记套路效果完全一样，只是我明白，这两类学生的眼神是不一样的。

人的大脑运行速度并不快，生物电流嘛！然而思维的速度几乎是无限的，这几步推导过程，瞬间也就想过来了，并不是什么难题，然而大脑推导与大脑记忆是两个层面的事物，显然前者更有意义，那才叫数学思维。