汽车起重机在受限空间整机稳定性计算方法研究

姜宏图 滕儒民 王殿龙
大连理工大学机械工程学院 大连 116000

摘 要：针对汽车起重机由于空间及障碍物的限制导致支腿无法完全伸展的现象，对汽车起重机在受限空间内基于倾覆稳定性的起升能力的计算方法进行了研究，旨在增强起重机对环境的可适应性并对汽车起重机在空间有限的条件下的吊装作业提供一定的指导，保证吊装的安全性。

关键词：汽车起重机；受限空间；支腿；抗倾覆稳定性

中图分类号：TH213.6 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）07-0031-06

0 引言
汽车起重机在某些施工场地受空间以及障碍物的限制，支腿可能无法完全伸展，为了充分发挥起重机的起升能力，并保证吊装工作的安全，研究基于抗倾覆稳定性的汽车起重机起升能力计算方法十分必要。

目前，利勃海尔依据其产品在实际工作中常会遇到受限空间工作的经验，率先发布VarioBase 技术，主要是用于空间受限场地施工时确定支腿任意位置下的起重机起升能力并指导吊装过程，此项技术已经在欧美吊装市场得到广泛的认可，但国内的研究很少。

本次研究主要针对汽车起重机在受限空间下整机倾覆稳定性的起升能力计算方法，该方法目的是在不同支腿状态的工况下，快速求解，能达到在上车回转过程中迅速反应，对于汽车起重机起升性能的充分利用、环境适应性的增强具有指导意义。

1 汽车起重机基本模型组成
为了计算基于倾覆稳定性起升能力，需要假设：只考虑重力；忽略所有惯性力和风载；臂架各节臂重心位于臂架几何中心位置；假定地基为刚性结构[1]。如图1 所示，以转台的回转中心为原点建立坐标系，将起重机依分为支腿部分、下车部分、上车部分以及臂架部分。参数化主要是确定各部分位置和数值。

1. 支腿部分 2. 下车部分 3. 上车部分 4. 臂架部分
图1 汽车起重机典型结构图

2 起升能力快速计算方法
2.1 基于倾覆稳定性起升能力计算方法确定
1）力矩法计算起升能力

力矩法主要通过临界条件稳定力矩等于倾覆力矩计算基于抗倾覆稳定性的最大吊载。如图2 所示，以支腿的4 个形心确定倾覆边，臂架所在区域计算起升能力，然后根据GB/T 3811 － 2008《起重机设计规范》流动式起重机计算载荷，取0.75 作为安全裕度[2] 得到起升能力。其计算起升能力可表示为

式中：Fload 为起升能力，Ms 为稳定力矩，Db 为吊臂重心到倾覆边的距离，Dload 为吊重到倾覆边的距离。

图2 力矩法计算示意图

2）ZMP 法计算起升能力
ZMP 法是指地面反作用力向水平面中某点等效, 关于该点的力矩只有垂直分量, 即沿水平面内的两个垂直轴方向的分量为零。

如图3 所示，基于4 个支腿位置及安全裕度确定ZMP 区域，当ZMP 点处于该区域内，则起重机处于稳定状态。ZMP 点与合力、合力矩关系可表示为

依据关系反解ZMP 点与起升能力的关系，然后依据ZMP 区域限制，寻找ZMP 区域中使起升能力F 最大ZMP 点(xZMP，yZMP), 从而求解起升能力。

3）起升能力计算方法确定
对于上述两种方案，由于基于力矩法计算起升能力属于线性求解，可直接应用到控制器上，而ZMP 法属于非线性求解。为使研究有实际意义，可采用力矩法进行计算。

图3 ZMP 法计算示意图

2.2 支腿许用应力对起升能力限制
由于支腿最大受力限制起升能力，故需要研究支腿反力。为了研究支腿任意伸展时各支腿的支腿反力，根据支腿四点支撑形式属于一次超静定问题，用力法进计算较为简便[3]。根据支腿S4 处位移为零可得到式⑶所示平衡方程，即

式中：δ41 为支腿4 形心，S4 为沿Z 轴方向由X4 ＝1 所产生的位移，Δ4p 为S4 沿Z 轴方向由载荷作用产生的位移。

本次计算主要考虑对于支腿反力影响较大的大梁扭转变形以及其引起的支腿跨距变形因素，而忽略大梁的弯曲变形与活动支腿的影响，因此有

式中：T4 为X4 ＝ 1 产生的扭矩，Tp 为载荷产生的扭矩，G 为材料的剪切模量，J 为杆件的扭转惯性矩。分别作出X4 ＝ 1、Fall、Myall、Mxall 作用时的扭矩图，如图5 所示。依据图4 可得式⑹、式⑺，即

其中

将式⑹、式⑺代入式⑻得到支反力，即

根据前后支腿相对于回转中心的转角相等协调方程以及式⑻，通过求解得到式⑼，即

其中

式中：I 活为活动支腿惯性矩，I 固为固定支腿惯性矩。由于支腿可能出现三点支撑情况，故在考虑支反力限制是需要判断其支撑形式。

图4 X4 ＝ 1、Fall、Myall、Mxall 作用时的扭矩图

2.3 起升能力计算流程
1）确定支腿位置信息，得到倾覆边1、2、3、4、l1、l2、l3、l4，并确定β1、β2、β3、β4。
2）令臂架初始回转角度β ＝ 0，i ＝ 1。
3）判断臂架所处区域（以下步骤以臂架处于1 区域为例，其他区域计算步骤类似）。
① 0 ≤ β ＜ β1 或β4 ≤ β ＜ 2π，臂架处于1 区域，计算基于l2 的起升能力F2；
② β1 ≤ β ＜ β2，臂架处于2 区域，计算基于l1 的起升能力F2；
③ β2 ≤ β ＜ β3，臂架处于3 区域，计算基于l4 的起升能力F2；
④ β3 ≤ β ＜ β4，臂架处于4 区域，计算基于l3 的起升能力F2。
4）将臂架重心带入倾覆边l1、l3 直线公式里，得到数值M1、M3，判断M1、M3 是否大于0。
①若M1 ＞ 0、M3 ＜ 0, 计算基于l1 的起升能力F1，起升能力F ＝ min(F1,F2)；
②若M1 ＜ 0、M3 ＞ 0, 计算基于l3 的起升能力F3，起升能力F ＝ min(F3，F2)；
③若M1 ＜ 0、M3 ＜ 0, 起升能力F ＝ F2。
5）计算不包含F 回转中心的合力Fall2、合力矩Mxall2、Myall2，将F 带入，然后计算总的合力Fall、合力矩Mxall、Myall；
6）依据Fall、Mxall、Myall，基于四点支撑计算各支腿支反力X1、X2、X3、X4；
7）Xm ＝ max(X1，X2，X3，X4) 判断X1、X2、X3、X4中的最大值( 以X2 最大为例)，即X1 ＝ Xm；X2 ＝ Xm；X3 ＝ Xm； X4 ＝ Xm；
8）判断X4 是否大于0；①若X4 ＞ 0, 判断X2 是否大于液压缸最大许用压力Fxu：
a）若X2 ＜ Fxu，起升能力Fload（1，i）＝ F；
b）若X2 ＞ Fxu，令X2 ＝ Fxu，根据四点支撑支腿反力反解起升能力F，Fload（1,i）＝ F；
②若X4 ＜ 0，基于支腿1、2、3 三点支撑重新计算支腿反力X11、X22、X33 ；若X22 ＜ Fxu，起升能力Fload（1,i）＝ F；若X22 ＞ Fxu，令X22 ＝ Fxu，根据三点支撑支腿反力反解起升能力F，Fload（1,i）＝ F。
9）令β ＝ β+0.1π，i ＝ i+1, 重复步骤4）～ 9）。如图5 所示，该算法包括通过前处理、求解、后处理3 部分，其中前处理主要按照第一节设置起重机参数，求解是该算法的核心，主要依据第二节的研究求解出基于倾覆稳定性的汽车起重机在受限空间的起升能力。后处理主要现实臂架360°回转时的起升能力图。

图5 起升能力计算流程图

3 算例分析
以25 t 汽车起重机为例，其基本模型参数如表1 所示，分别对于起重机支腿完全伸展与不完全伸展两个工况进行计算。

3.1 工况一支腿完全伸展
当支腿完全伸展时，以臂长为28.98 m，俯角为45°，吊载为4 750 N，各支腿支反力随臂架的旋转角度的关系如图6 所示。

图6 全伸时支腿支反力与旋转角度关系图

图7 为臂架旋转角度与起升能力关系图。当支腿完全伸展时，臂架在支腿附近时的起升能力为45 554.74 N，臂架垂直于主梁时的起升能力为32 611.32 N，在支腿附近的起升能力相对于架垂直于主梁位置提高了39.7%。

图7 臂架旋转角度与起升能力关系图

3.2 工况二支腿不完全伸展
如图8 所示，由于障碍物的限制，使起重机工作空间受到限制时，而起重机工作区域在右侧，故右侧支腿全伸而左侧支腿不全伸。

图8 起重机受限空间支腿伸展示意图

以左侧支腿未伸展，即右侧支腿完全伸展为例，其臂长、俯角同工况一。支腿反力如图9 所示， 在π/2-π 之间支腿3 反力出现负值，会出现三点支撑的情况。

图9 支腿支反力与旋转角度关系图

臂架旋转角度与起升能力如图10 所示。当支腿不完全伸展时，其左侧未完全伸展处的起升能力明显下降，其起升能力仅为6 332.30 N。右侧臂架在支腿附近时的起升能力为46 978.34 N，而臂架垂直于主梁时的起升能力为31 789.99 N，在支腿附近的起升能力相对于架垂直于主梁位置提高了47%。

图10 臂架旋转角度与起升能力关系图

4 结论
综上所述，汽车起重机在支腿完全伸展时，臂架在支腿附近的起升能力远高于臂架垂直于主梁时的起升能力；使吊臂尽可能在支腿附近进行吊载作业可提高起升能力，充分利用起升性能。另外，支腿在未完全伸展时，其未完全伸展部分起升能力下降明显，而完全伸展侧起升能力变化不大。在受限空间应尽可能保障工作侧支腿的伸展。对于实际制造出来的汽车起重机，可通过对其测量得到其参数，以便结果更加精确。

参考文献
[1] McGhee，Frank.On the Stability Properties of QuadrupedCreeping Gaits[J].LMMATHEMATICAL BIOSCIENCES，1968（3）：331-351.
[2] GB/T3811 － 2008 起重机设计规范[S].
[3] 卢耀祖，郑有珍. 汽车起重机底架刚度对支腿反力的影响[J]. 建筑机械化，1987（8）：12-15.
[4] 房晓文，陈学冬，周振华，等. 汽车起重机支腿反力简化计算方法与实验验证[J]. 起重运输机械，2012（3）：89-92.