答对数学难题就能赢得媳妇，幸福结局问题真幸福

匈牙利这个欧洲国家人口不多，不到1000万，面积不大，不到10万平方公里。但是却盛产这个世界最稀有的“物种”--数学家。匈牙利的“特产”可不是小打小闹，比如像保罗埃尔德什，冯诺依曼，波利亚，彼得拉克斯。。。这些闻名世界的数学大师都来自小国匈牙利。

欧洲美丽小国 匈牙利

埃尔德什是一名数学界的苦行僧，一生未娶，终生与数学为伴。他走南闯北，与世界各地的数学家深有合作，并且发表了1475篇论文，这是史上最高产的数学家。大约1930年代初，那个时候埃尔德什刚刚20出头，就已经树立了对数学无穷的兴趣，组织了一个小范围数学家的讨论会。

大师 保罗 埃尔德什

会上有位女同学Esther Klein提出一个比较有意思的问题：平面上给定五点，其中任意三点不共线，则必有四点可以组成一个凸四边形。这里的四边形好理解，像矩形，菱形，梯形等等都是四边形，凸字如何理解呢？你可以认为是在多边形内部都可以直接看到各个顶点，不存在被某条边挡住的情况。也可以从几何学上认为，凸四边形的内角都小于180度，比如像下面箭头的情况，就不是凸四边形，因为∠D明显已经大于180度。

这个图形不是凸四边形

对于这个古怪的问题，Klein给出一个很自然的证法。她将点的分布情况分为3种情况来讨论。

第一种，最容易想到的情况，就是5个点，依次连接本身就是凸五边形，既然是凸五边形，那么存在凸四边形就是显而易见的。

情况1

第二种，有1个点被其余4点包围。就像是下面的情况，很明显外围的4点就可以组成一个凸四边形。

情况2

第三种，有2点在剩下3点组成的三角形内部。就像下图这样的情况。

情况3

内部的2点与三角形的底边2点又可以组成一个凸四边形。

很明显，通过上面的分析，就已经把平面内5点，并且任意3点不共线的所有情况都讨论完毕了。因此命题当然成立。

Klein ， Szekeres，埃尔德什

这个问题看起来虽然古怪，但是难度不大，玩得没劲，还是推广下看看，会不会有惊喜出现。

对于给定的正整数n，能否找到一个N(n),使得平面上N(n)（任意3点不共线），其中必有凸n边形？

这个推广首先要证明其存在性，然后才能论述这个N(n)到底是多少。这个问题迅速在小伙伴之间传开。

1984年 当年小伙伴的聚会

根据这个表示方法，很明显，N(3)=3,Klein的证明得知N(4)=5。很快，这个团队中有个叫 Endre Makai的同学证明了，N(5)=9。当然，我们也许继续可以采用类似分类讨论的方式来得到这个结果，但是只是枚举论证，跟验算式地证明哥德巴赫猜想是一个道理，毫无作用。

George_Szekeres

大家都注意到这样的情况，N(3)=3=2+1，N(4)=5=2^2+1,N(5)=9=2^3+1,也许这就是一个规律，N(n)=2^(n-2)+1再到后面是否可以用归纳法来证明一下呢？如此一来是否会万事大吉。然而，这条路很快就走不通，有位叫作Gyorgy Szekeres的小伙伴相当热心地想去解决这个问题,毕竟如果能够解决Klein这个问题的话，那就很有可能俘获美女芳心啊。这位同学还是有相当的能力的，他费尽心思给出了一个保证必有凸n边形的点数。不过他给出的值要远比前面猜测的2^(n-2)+1大，虽然这个离最终猜想还有很大差距，但是至少他证明了这样的N(n)存在的。

老年的Klein和Szekeres

当然了，这场团体比赛中，最大的赢家还是这位同志，他如愿收获了Klein的芳心。埃尔德什也把这个促成两位青年才俊喜结良缘的问题叫作幸福结局问题，真是太浪漫了。

1937年，Klein和Szekeres结婚，并携手走过将近80年，2005年8月28日，两人先后一个小时之内相继离世，真是不求同年同月同日生，但求同年同月同日死。

这个问题也一直在火热地研究，这个问题也开创了离散几何的研究。1935年，埃尔德什和 Szekeres联合发表了一篇论文，提出了这个问题的上下限。

后面的 上界其实很大，当然更比下界大，1998年，这个结果被改进：

2016年，这个结果又被大大推进。圣迭戈加利福尼亚大学的Andrew Suk证明了

Andrew_Suk

值得一说的是，在同年人们利用机器辅助证明了，N(6)=17,仍然满足当初埃尔德什们通过归纳得出的猜想。看来这个很有可能是真实的，至于后面的N(n)是多少，那就远远不是我们现在能知道的了，必须要人们完全证明了当年归纳法得出的猜想才行。