神操作！类比法与巴塞尔问题

1 巴塞尔问题

今天小编来和大家探究一个问题：所有正整数平方的倒数之和是什么？

这个问题也就是求以下无穷级数的和

我们知道，对于 级数

当正实数 时，级数是收敛的，当 时，级数变为著名的调和级数，它是发散的。

因此，当 时级数收敛，所有正整数平方的倒数之和是必然存在的，这个著名的问题在数学史上被称为巴塞尔问题。

出生于瑞士巴塞尔的著名数学家雅各布·伯努利发现了好几个无穷级数的和，但是他始终未能找到正整数平方的倒数之和，他公开表示：“假如有人能够求出这个我们直到现在还未求出的和并能把它通知我们，我们将会很感谢他。”

这个问题引起了同样出生于巴塞尔的数学家欧拉的注意，最终他发现了解的精确值是：

欧拉在1735年将这一结果公布了出来。 虽然他的证明还不是十分严密（欧拉在1741年给出了更为严谨的证明），但他当时的想法惊为天人，让无数人为之折服。

在求解这个问题之前，我们先回顾一下在初等代数中一个基本的事实，假如一个 次方程

有 个不同的根

则必然有 (公式可以左右滑动)

比较两边 项的系数，容易得出：

更进一步地，如果方程的常数项 ，则方程无零根，则 (公式可以左右滑动)

同样比较 的系数，有

类比上述结论，如果 次方程

有 个不同的根

则

(公式可以左右滑动)

且必有

3 一种类比的思路——巧妙的正弦函数

根据上面一般性的结论，聪明的欧拉将方程 与巴塞尔问题联系在了一起，注意到 的泰勒展开为

因此

这里欧拉假定 ，也就是说抛去了 的零根，剩下了无穷多个根

因此

(公式可以左右滑动)

比较 的系数，有
即

即

真是天才的想法！欧拉大神创造性地把用在有限多项式的因式乘积形式用在了无限项多项式中，从而解决了巴塞尔问题。

4 欧拉成功的秘诀

其实上述过程的做法有很大风险，很多情况下对于有限项显而易见的处理方法放在无限多项里却完全是错误的（下一期我们会单独讨论这类问题）。但是对数字极其敏锐的欧拉计算出该级数的数值大约为1.645，与他得到的结果 几乎完全一样，这更加坚定了欧拉的想法。

而欧拉成功的决定性因素就是敢于大胆地类比，在欧拉以前，别的数学家曾通过从有限差分过渡到无限小的差分，从一个有限项的和过渡到一个无限项的和，从一个有限的乘积过渡到无限乘积。因此欧拉应用了从有限过渡到无限这个法则，从有限次代数方程过渡到无限次方程。正如伟大的天文学家开普勒所言：

我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。

对于巴塞尔问题还有一个非常有趣的解释，这里从物理“光强度”的角度进行了解释，非常生动，视频来源3blue1brown

参考文献
[1]（美）G·波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,2001.

来源：大小吴的数学课堂

编辑：Watson