亲近数学——美丽的彩虹现象，怎样用微积分知识来解释？

用微积分知识解释彩虹现象

彩虹现象

彩虹是雨滴散射太阳光而产生的, 从亚里士多德时代就有人开始尝试用科学的方法解释其形成原理. 现在我们就用微积分知识解释彩虹现象.

如图所示, 一束太阳光在球形雨滴A处进入雨滴内部, 一部分光线被反射出去, 一部分光线发生折射. AB就是发生折射的光线的传播路径. 折射的光线向法线AO靠拢, 由斯内尔定律:

其中α是入射角, β是折射角,κ是水的折射率.

在B点, 一部分光线穿过水滴发生折射, 折射到空气中, 一部分光线发生反射, BC是发生反射的光线的传播路径. 当光线到达C处时, 部分光线被反射. 如图1所示.

光线偏转角D(α), 如图1所示, 是在这三个过程中光线经过路径的顺时针旋转角度之和

将κ=sinα/sinβ, 代入式中可得

对D(α)求导可得

当折射率κ=4/3时,

可以得到D(α)在

处取到最小值

最小偏角的意义是当α≈59.4°时,

在这个角度附近, 许多入射角为

的光线发生了138°的偏转,这些光线的汇集产生了主彩虹的光芒. 如图2所示.

从观察者到彩虹的最高点角度

接下来解释彩虹的颜色. 太阳光由一系列光谱组成, 红色、橙色、黄色、绿色、蓝色、靛色、紫色. 牛顿1666年的棱镜实验发现, 不同颜色的光的折射率不同:

红色：κ≈1.3318

紫色：κ≈1.3435

这种现象称为色散.

对每种颜色光的折射率重复上面问题讨论, 可以得到红色光的彩虹角大约为42.3°, 紫色光的彩虹角大约40.6°, 所以彩虹实际上由七种颜色的相分离光弧组成.

根据主彩虹的偏转角度表达式可知: κ值越大, 偏转角越大, 看到的颜色就越靠下, 因此主彩虹中颜色从上往下依次是: 红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫.

主彩虹的上面有另一个模糊的副彩虹. 因为光线在A处折射到雨滴中, 在B和C处发生两次反射, 在D处折射到大气中, 如图3所示.

光线偏转的角度是逆时针旋转的所有角度之和, 即光线经历的四个阶段.

用公式表达:

将

代入上式中

当

时，D(α)达到最小.

当κ=4/3时, 求得最小偏差值为129°, 所以副彩虹角大约为51°. 如图4所示.

根据副彩虹的偏转角度表达式可知: κ值越大, 偏转角越大, 看到的颜色就越靠上, 因此副彩虹中颜色从下往上依次是: 红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫. 主彩虹里的颜色和副彩虹里的颜色相反.

通过微积分知识解释的彩虹现象与实际我们见到的自然界中的彩虹现一致, 你看懂了么？

文章来源：公众号“科学出版社数学教育”