“杨辉三角”与“二项式定理”的相遇，成就了数学史上的一段美谈

无论是在整部数学的发展史中，还是在个人的数学学习当中，“数形结合”的思想都是极为重要的工具。比如我国古代的“杨辉三角”与西方的“牛顿二项式定理”的结合，成了数学史中的一段美谈，然而这到底是怎么回事呢？还得从我们初中二年级学习的“因式分解”说起。

我们知道，把一个“多项式”化为几个“整式的积”的形式，我们称这为“因式分解”。它在中学时代的主要作用是用于等式的“恒等变形”，是“求根作图”、“解一元二次方程”等问题的“有力工具”。

在“因式分解”的学习中，我们要求掌握一个非常重要的“乘法公式”——“完全平方和”公式。而我们今天要说的这个故事，就是从这个“完全平方和”公式开始的。

初中二年级数学课本中的“完全平方和”公式是这样的：（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，我们要做的是，用“归纳猜想法”搞清楚它的来龙去脉：搞清楚它从哪儿来，又要到哪儿去，也就是说，在解题的过程中要“能进能退，进退有度”。

要搞清楚它从哪儿来，就先用“退法”，华罗庚曾说过“学习数学要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”

那么以这个公式来说，我们要退到的“最原始而又不失重要性的地方”就是：(a+b)^0=1。

“退”的目的就是为了“进”，在本题中，我们进的目标就是“两数和”的“正整数次幂”——牛顿二项式定理。

这时我们就可以用“归纳猜想”法来进行“合情推理”:

(a+b)^0=1

(a+b)^1=a+b

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3

……

那么，(a+b)^n=？，这时可以用“组合数”的形式表示如下：

细心的人会发现以上式子的推演，每一“项的系数”都呈一定的规律排列，而令人惊讶的是，这一规律与我国南宋时期就已经发现的“杨辉三角”的规律不谋而合。“杨辉三角”如下图所示：

杨辉三角有如下两个最为重要的性质（更多其它性质均可由此推出）：

①“每个数字”等于“上一行的左右两个数字之和”，根据此性质可以写出整个“杨辉三角”。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。

②第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。

由上图可知，“杨辉三角”是“二项式系数”在三角形中的一种“几何排列”。它把“二项式系数”进行图形化，把“组合数”内在的一些“代数性质”直观地从图形中体现出来，是一种“离散型的数与形的结合 ”。

当我们结合“杨辉三角”和“牛顿二项式定理”就可以解决一些难题：比如，不用计算器求1.1^10的值，可以将该数值化成（1+0.1）^10，从而借助“牛顿二项式定理”求出每一个“项”，再根据“杨辉三角”得出“每一项的系数”。在考试中，结合“杨辉三角”和“牛顿二项式定理”解决类似难题的例子数不胜数。

有人说，一些关似的难题看似无从下手，但是一旦想到了上述的“归纳猜想”的方法，瞬间让难题变成了小学的计算题。在今天看来，这些公式并不是那么难，但数学家们却经过了长达千年的深度思考。

早在我国古代（11世纪中叶），我国数学家贾宪就在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，在那时就已经满足了“三次以上开方”的需要。然而遗憾的是，贾宪没有进行更深入的研究，从而也没有给出“二项式系数”的一般公式，因而也没有建立起一般“正整数次幂”的“二项式定理”。

13世纪，杨辉发现了该图并将其载入《详解九章算法》中，清楚地注明了此图的出处。由于贾宪的原作已经失传，正是因为杨辉的工作而使得这一令国人引以为傲的成果流传至今，因而后人们称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。

数百年以后的1654年，法国的帕斯卡才建立起“一般正整数次幂的二项式定理”，因此“算术三角形”在西方至今仍以他的名字命名。

1665年，英国的牛顿“将二项式定理”推广到“有理指数”的情形。“二项式定理”的建立，为“微积分”的建立奠定了基础。

以上就是“牛顿二项式定理”的来龙去脉，体现的是“从一到无穷大”进行推演的“数学思想方法”——“数学猜想法”的重要性。

“牛顿二项式定理”是一个极为重要的定理，为“微积分”的诞生奠定了基石。然而可惜的是，在西方“微积分”开始萌芽、发展、成熟的时候，同时期的中国正处于明、清时期，那时的封建统治者认为类似于这样的推演不过是“奇技淫巧”，是不务正业的表现。

也正是在这种落后思想的影响下，使得中国的数学在明、清时期全面陷入停滞状态，导致科技发展全面落后于同时期的世界。落后就要挨打，从而使得近代中国陷入了长达100年的苦难。

综上所述，在数学的发展过程中，数学家们最常用的工具就是“归纳猜想”：从一些人们习以为常且极容易被人忽视的小现象作为最基本的“公理”，然后进行层层推导，从而得出复杂的“公式定理”，从而解决人类生活生产中的实际问题，从而推动人类文明的发展。