你都知道哪些等宽曲线的图形呢？

你都知道哪些等宽曲线的图形呢？

平时我们看见的汽车轮子、火车轮子及各种车的轮子都是圆形的。因为轴离地面接触点的距离总是相等的，所以车行驶起来就平稳，从而我们想到车的轮子都是圆的。

当我们把一箱重物放在一些断面直径相等的圆棍或圆管上移动时（如图1），既省力又平稳，是不是只有圆棍、圆管才能起到这个作用呢？

图1

我们看到的茶壶盖子都是圆形的，这是因为茶壶盖只要比茶壶口大一点，总是不会掉进茶壶的。如果用其他正多边形盖子（如正方形），若它只比茶壶口大一点的话，一不小心，盖子就会掉进茶壶里的。因此茶壶的盖子必须是圆的。

1.等宽曲线

对以上三种情况，其实结论都下得太早了，有一种如图2的圆弧三角形（亦称三角拱形）就完全可以代替圆（如图3）。

图2

图3

这种圆弧三角形是以正三角形ABC的三个顶点为圆心以它的边长AB为半径作出的。这种圆弧三角形与圆有着相同的特点：不论从什么方向用两条平行线去夹它，这两条平行线间的距离总是一样的。我们称具有这种性质的图形叫做“等宽曲线”（或等宽图形），可知圆与圆弧三角形都是“等宽曲线”。

故而圆弧三角形也具有以上所说的圆的三种功能。

2.莱洛三角形与圆的相似处

圆弧三角形又叫莱洛三角形，是由机械学家、数学家莱洛首先发现的，故而得名。宽度为a的莱洛三角形是指以正三角形的边长为a所作出的圆弧三角形，它与直径为a的圆具有相同的宽度。将它们放在一个边长为a的正方形内旋转时，与正方形的每条边都有且仅有一个公共点（图4、图5），且两对边的公共点的连线是互相垂直的。

图4

图5

再一个相似处是同宽度的莱洛三角形与圆有相同的周长

宽度为a的莱洛三角形周长=3*(2πa)/6=πa

直径为a的圆周长为=2π*a/2=πa

3.莱洛三角形与方孔钻头

由于莱洛三角形在一边长为其宽度的正方形内转动时，任何时候都有四个点与正方形的四条边接触（不一定相切）且接触点的位置是不断改变的（如图6、图7），因而成了机械学家莱洛设计方孔钻头灵感的来源，而促使他发现了圆弧三角形和造出了方孔钻头。

自然，这种圆弧三角形的钻头钻出来的不是标准的正方形，而是如图8的圆角正方形。因为莱洛三角形的中心即正三角形的中心（三条中线的交点），所以，当莱洛三角形钻头转动时，它的中心也不像圆孔钻那样固定不变的。如果您能求出当莱洛三角形转动时它的中心的轨迹，那也是一件有趣的事。

图6

图7

图8

4.还有其他的等宽曲线吗？

由莱洛三角形的启发，可知还有更多的等宽曲线。如以正五边形 ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC=a之长为半径画五段圆弧，就可以作出一个圆弧五边形，它便是一个宽度为a的等宽曲线（如图9）。

类似地，还可作出圆弧七边形、圆弧九边形……得到各种莱洛多边形”，它们都是等宽曲线。但是，如果您想用边数为偶数的正多边形作出一条等宽曲线，已被证明是不可能的。

上面所说的都是正多边形组成的等宽曲线，其实，只需对角线相等而边长不一定相等的奇数边多边形，都可形成等宽曲线（如图10）。

图9

图10

可以看出，上面作出的圆弧多边形都有尖角（在两条弧的交点处），是否可以将尖角清除呢？事实上，只需经过如图11的“处理”，就可以作出与其相应的光滑的等宽曲线。

图11

5.对等宽曲线的思考

等宽曲线有许多美妙的性质，等待人们去研究发现。如果我们现在作一番思考也是有趣的。例如宽度为a的等宽曲线上任意两点间的距离不会超过a。

在等宽曲线的所有性质中，最美妙的莫过于由数学家巴比埃在1860年所发现的一条定理：所有宽度为a的等宽曲线都有相同的周长πa，也即是都等于直径为a的圆的周长（读者不妨以圆弧五边形为例试加以证明）。

图12

值得注意的是，等宽曲线不只限于圆弧等宽曲线，人们已发现了完全不包含圆弧的等宽曲线，那是一类特殊的卵形曲线。因此我们可以说等宽曲线还有许多离奇奥妙的性质和用途等待我们去研究发掘。