本文将以实例的形式，基于Wolfram Alpha计算搜索引擎，介绍高等数学、线性代数与空间解析几何中涉及的向量的描述、向量的属性，向量的基本运算，向量间的相互关系，向量的数量积、向量积、混合积的计算及它们的几何应用相关问题的实现方法.
目录：
1、向量的基本属性与相互关系
2、向量的模、单位化直接计算
3、向量的线性运算
4、向量的数量积及其应用
5、向量的向量积及其应用
6、向量的混合积及其应用
工具：WolframAlpha计算搜索引擎
位置：http://www.wolframalpha.com，打开网页直接操作，其中windows app也可以通过Windows 10应用商店下载安装！
特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！
手机：可以直接打开网页操作，或者自行网络搜索下载安装WolframAlpha APP版本操作
执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.
1、向量的基本属性与相互关系
例1 一般向量 的基本属性. 参考输入表达式为
vector (a,b,c)
执行计算得到的结果显示如下.
主要包括四个部分的结果：向量的模(长度)，单位化向量，向量在球坐标描述以及向径的参数方程描述. 输入具体的数值则将显示对应坐标对应的向径的图形演示. 如果输入多个向量，还会给出向量的线性相关性和形成的子空间描述形式.
【注】 向量的坐标描述也可以用花括号描述，即“{a,b,c}”.
例2 考察向量 , , 的基本属性和相互关系.
参考输入表达式为
vector (2,2,-3),(-3,1,3),(1,2,1)
执行计算得到的结果如下.
结果首先给出三个向量的向径图形描述形式、各向量的长度、对应的单位向量、球坐标描述与对应线段描述的参数方程表达式，然后讨论了向量组的线性相关性和可以构成的子空间，这里由于三个向量线性无关，又为三维向量，所以构成三维空间.
【注】 对于具体数值描述的三维向量，也可以直接以基向量的描述形式输入，比如输入
vector 3i-2j-4k
执行计算后，得到与上面括号输入方式相同内容的显示结果，如下图所示.
2、向量的模、单位化直接计算
例1 求向量 与 的模.
参考输入表达式为
||(3,4)||,||(3,4,5)||
执行计算得到的结果如下.
用双竖线可以直接表示求模（范数）. 也可以用norm替换，比如输入norm (3,4)，执行直接得结果为 ,；输入norm (3,4,5)，执行直接得结果 .
例2 求向量 的单位向量与方向余弦.
参考输入表达式为
normalize vector (a,b,c)
执行计算得到的结果如下.
结果不仅是是向量 的单位向量，也是三个方向余弦构成的向量.
3、向量的线性运算
例1 求两点 , 之间的距离.
两点之间的距离即两点构成的向量 的向量的长度，参考输入表达式为
||(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)||
执行计算得到的结果如下.
将坐标用具体数值替换则得到具体点间的距离.
例2 求两点 , 的中点的坐标.
参考输入表达式为
((2,3,5)+(-1,2,-3))/2
执行计算得到的结果如下.
【注】 向量的线性运算操作也可以用基向量描述形式操作，比如输入
2(2i+3j+5k)-3(-3i+2j-3k)
执行计算后得到
4、向量的数量积及其应用
例1 求两向量 和 的数量积.
参考输入表达式为
(x,y,z).(a,b,c)
执行计算得到的结果如下.
例2 已知三点 , , ，求角∠ABC.
所求角即为向量 , 所成的夹角，容易计算得到
参考输入表达式为
the angle of vector (1,1,0) ,(1,0,1)
执行计算得到的结果如下.
例3 求向量 在向量 上的投影与投影向量.
由投影计算公式，得
参考输入表达式为
((4,-3,4).(2,2,1))/||(2,2,1)||
执行计算得到的结果为 . 为直接得到投影向量，输入如下表达式
projection {4,-3,4} on {2,2,1}
计算结果显示为
可得投影向量的模就为 .
5、向量的向量积及其应用
例1 求两向量的向量积，其中
参考输入表达式为
(3i-j-2k)x(i+2j-k)
其中叉乘符号直接输入字母“x”表示就行，一般不能正常计算时用cross替换，即输入
(3i-j-2k) cross (i+2j-k)
执行计算得到的结果如下.
【注】 以上表达式也可以直接以坐标形式(3,-1,-2)x(1,2,-1)输入，得到结果也是坐标 .
例2 求三角形 的面积，三角形的三个顶点坐标为
由向量积的几何意义，可知三角形的面积为
||((3,2,1)-(1,-1,2)) cross ((2,2,3)-(1,-1,2))||/2
执行计算得到的结果如下.
6、向量的混合积及其应用
例1 求混合积 ，其中
参考输入表达式为
((a_1,a_2,a_3) cross (b_1,b_2,b_3)).(c_1,c_2,c_3)
执行计算得到的结果如下.
例2 求四面体的体积，其中四面体的四个顶点坐标分别为
由混合积的几何意义，可知四面体的体积计算公式为
所以参考输入表达式为
(((4,5,6)-(1,1,1)) cross ((2,3,3)-(1,1,1))).((1,5,7)-(1,1,1))/6
执行计算得到的结果如下.
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