回归基础，2020年太原三模理科数学选题解析

高考前再选出两三套试卷做解析，三模算是各个省市自己的押题卷，看看各地区押题的方向是什么，太原三模这套题目和常规的三模题一样，回归基础，没有偏题怪题，选取下面六道题目，看看太原三模看重的是什么。

题目考查的是与抛物线有关的二级结论，这个结论相关的内容可以参考链接：思维训练37.抛物线中的切线问题，考查抛物线焦点弦与抛物线交点以及准线的关系，常用的结论如下：

推论1：过抛物线准线上任意一点向抛物线引两条切线必定互相垂直

推论2: 抛物线互相垂直的两条切线必定在准线上

推论3：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切

可知本题目中M点在准线上，另外抛物线中还有一个常见的与面积有关的结论，即原点与焦点弦的两个点所围成的三角形面积问题，链接为：思维训练38.与抛物线有关的压轴小题

以“新”题型的形式考查函数零点个数，与此类似的还有切线条数问题，本题目中点P的纵坐标为零，很容易得知M,N两点分别位于x轴的两侧，这样P点横坐标的范围就能确定出在(0,1)之间，求判断函数零点个数即可。

注意在判断函数在定义域端点处的值时可用极限来确定，当x→0时，y=(3xlnx+1)/x，分子趋近于1，分母趋近于0，整体趋近于正无穷，没必要按照大题步骤选点。

在高考中所有的新概念题型或新定义题型或以数学文化为背景的题型都不难，很多同学只要看到字数多的题目就老感觉自己不会做，没有必要，耐心翻译成数学语言即可。

这个题目很容易想到用余弦定理和焦点三角形来解，这样有些麻烦，需要留意当三角形中有两条边长的比值为1:2时需要想到是不是30°的直角三角形，本题目恰好符合，点P在过焦点且与x轴垂直的直线上，可利用通经和正切值求离心率，过程不再给出。

这种题型在高二同步测试中很常见，但在高考中不是很多，题目中涉及动点的轨迹问题，异面直线的夹角，线面角和二面角，算是做一个基础性的归纳吧。

对于第一个选项，很容易得知点F在线段MN上，且M,N为对应棱长的中点，平面α为平面MNB1,三角形B1MN为等腰三角形，当点F为MN的中点时满足垂直关系。

对于第二个选项，可用三余弦定理来判定，即投射到同一个平面上，因为题目较为简单，没必要这么做，异面直线的夹角就是∠FB1C1,在直角三角形FB1C1中，利用正切值即可求出取值范围。

对于第三个选项，即求平面B1MN与平面MNC1的二面角，MN为交线，取MN的中点F，连接C1F和B1F，根据二面角的定义，∠B1FC1即为所需的平面角。

对于第四个选项，根据第三个能知道平面α与平面CDD1C1的夹角余弦值为1/3，求平面α与平面A1B1C1D1和B1C1CB夹角余弦值时可利用射影面积法，例如α与A1B1C1D1夹角的余弦值为△B1C1N的面积比上三角形MNB1的面积，可知余弦值相等的侧面共有四个，(判断出两个即可)。

题目需要注意的知识点有两个，第一是异面直线的三余弦定理的判断方法，第二是二面角投影面积法的使用，可参考链接：思维训练10.投影法求异面直线之间的夹角；【高中数学的“术”与“道”】之如何找二面角的平面角

解题大致思路：求点O到直线MN的距离需要知道MN所在直线方程，这里就需要讨论MN所在直线的方程斜率存不存在，设出点B的坐标，即可根据重心2：1求出MN中点的坐标，再利用中点弦斜率公式(上方红框中的部分，在考试中需要用点差法来写)求出MN的斜率，继而求出MN的直线方程，利用点B在椭圆上进行消元求最值即可。

第一问，可直接求导，设导函数为g(x)，求导判断g(x)的单调性，但这样必定会有对含参函数选点确定函数值这一步，这是谁都不想要的步骤，若对f(x)求导之后分离参数，这样只需要对一个不含参函数判断单调性求最值即可，免去了复杂的选点问题，但是分离参数需要确定无参函数在定义域端点处的函数值，这里有会用到极限来判断，总之两种方法均有优缺点，根据题目适当选择吧。

第二问总体思路如下，算是一个不错的题目。