相关知识点
本文涉及的重积分计算方法与相关性质包括：
先一后二的“投影法”
先二后一的“截面法”
柱坐标方法
球坐标方法
形心计算公式
换元法
偶倍奇零计算性质
部分轮换对称性
重积分计算的一般步骤：
第一步：画图，绘制边界曲线或边界曲面图形；
第二步：考察图形的对称性与被积函数的奇偶性，注意应用积分的线性运算性质与积分对积分区域的可加性，通过拆分被积函数，或分割积分区域来应用偶倍奇零的计算性质，或者轮换对称性简化，转换最终需要计算的积分模型；
第三步：确定坐标系与区域类型，根据选择的坐标系转换方程描述，将边界方程转换为选择的坐标系的坐标变量方程；
第四步：根据选择的坐标系、区域的图形特征、被积函数的结构特点，选择合适的方法构建累次积分表达式，由于累次积分的构建只适用于简单类型的区域，在计算过程中可能还会基于积分对积分区域的可加性，将积分分为几个子区域上的积分来计算. 该步骤又可分为五步：画图定域型（最终需要计算的积分的区域图形，如果没有讨论第二步，则直接就是原积分区域，确定类型后，将积分区域边界描述为型变量的函数表达式）；投影(扫描)得型限（如果是三重积分，对投影区域需要重复一次这里的步骤）；画线定余限；余限先积分，最后积分型变.
第五步：计算累次积分，得到积分结果。
【注1】如果问题不是在直角坐标系中给出的，要讨论第二步，需要将问题转化到直角坐标系中来讨论。当然，第二步不是必须的，可以跳过直接进入第三步。如果发现后面步骤不能有效完成，则可以回过来重新讨论第二步。
【注2】注意被积函数为单变量1次项，积分区域为规则的几何形状时，可以借助物体的形心的计算公式，即密度均匀的物体的质心的计算公式来直接得到积分值. 如
视频解析
例题及参考解答
【注】没显示完整的公式请在公式上滑动显示！
例：计算被积函数 ，积分区域 由 , 所围成的三重积分值 .
【参考解答】：【法一】：先一后二的“投影法”
【法二】：先二后一的“截面法”
【法三】：柱坐标方法
令 , , ，则曲面的柱坐标方程为
所以
【法四】：球坐标方法
令 , , ，则曲面的球坐标方程为
球坐标变量范围为
所以
【法五】：质心公式法
积分区域为一个倒立的，底面半径为 ，高为 的圆锥体，并且中心轴在 轴上，所以它的形心坐标为 ，由圆锥体的体积计算公式，可得 ，所以
【法六】：换元法
定积分、重积分，具有统一的换元公式，即
其中 为一一映射：
其中 .
比如令 , , ，则 ，（把圆锥倒过来）则积分为
【法七】：应用对称性转换积分模型
积分区域关于 面对称，被积函数关于 变量，关于 变量都为偶函数，所以
积分区域 , 都关于 变量具有轮换对称性，而被积函数也关于两个变量具有轮换对称性，所以
前
其中 前 由 , , , 围成.
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