《知无涯者》：纪念拉马努金逝世100周年

知无涯者

今天我们纪念一个传奇人物逝世100周年（1887.12.22-1920.4.26)。很多人可能并不知道这个人是干嘛的，今天我们简单介绍一下这位数学天才在短暂的一生作出的巨大贡献。这里先推荐一部电影《知无涯者》，这部电影是为数不多介绍拉马努金的电影。

在电影《知无涯者》中，Dev Patel饰演的拉马努金（右）与他在剑桥的导师哈代（左）一起。他几乎是完全自学成才。他在剑桥之前的工作成果包含在一系列笔记中。

拉马努金真人

1887年12月22日，拉马努金出生于南印度的一个婆罗门家庭，虽属印度最高种姓，但家境已不好。那时的印度有数以千计的神祇，许多印度人会挑选一个神来敬拜，该神也就成为他家族世代相传的家神。拉马努金家祖传的神是娜玛吉利女神。拉马努金从小就非常虔诚，长大后也一直把女神的名字挂在嘴边。

10岁那年，拉马努金就进了中学。这所学校用英语教学，顺便也会向学生介绍英国的情形，这也为拉马努金的英语打下了基础。由于家里缺钱，找了两个大学生寄宿，他们发现拉马努金喜欢数学，这两个大学生发现根本招架不住，便拿出一些高深的数学书给拉马努金看，比如《龙氏平面三角学》，而拉马努金很快全部掌握，而当时只有13岁，当时就展现了他的数学天才。

中文版的龙氏平面三角学

常常考试考到一半，拉马努金就交了卷，高年级同学不信他有这么"神"，就拿一些难题来挑战他，结果常常大败而归。

当拉马努金14岁时，拉马努金已被全校师生视为外星人了。

当拉马努金16岁即将毕业时，寄宿的大学生又给了拉马努金一本卡尔（G.S.Carr）的《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》。这个大学生挺坏的，这本书相当于近代数学藏经阁的目录，里面记载了5000多个数学公式，当然没法给出每个公式的详细证明。普通人最多当结论汇编，但是如果要把这5000多个数学公式都证明一遍，这好比重复了近代纯数和应用数学领域里一堆人，上百年的工作。即便按照普通数学天才的水平，证明完这5000个公式，大半辈子过去了。然而这种挑战反而激起了拉马努金的极大兴趣。

《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》

拉马努金不仅仅证明了这些公式，而且在试图证明这些公式的过程中，独创了很多方法！1904年，拉马努金进入大学，还得到了一笔奖学金。一切似乎都进行的很顺利。

然而，偏科一直是拉马努金的大问题。拉马努金被上面那本《汇编》迷住了，于是他开始对其他东西都失去了兴趣。甚至在其他课上做数学，即使是数学课，也做自己的数学，而不听老师讲。有时干脆就旷课。结果英语作文不及格。大学的奖学金也取消了。

没有办法，1906年，拉马努金换了一所学校读书，而他依然我行我素，沉迷于数学，挂科无数，结果就是没有拿到学位，当然也没有找到理想的工作。

电影《知无涯者》就是从这个阶段开始的。

远赴英国，震惊学界

由于没有学位，拉马努金只能在港口当一个小职员，但是他的数学天份在港口广为人知。很多人建议他要不要跟英国的数学家联系一下，看看有没有机会。

拉马努金陆陆续续给英国的数学家寄出去了自荐信，收信人有贝克（H.Baker）、霍布森（E.Hobson），都是声望很高的数学家。但信寄出后，又都石沉大海。拉马努金决定再尝试一下，这一次，他找的是只比他大十岁的哈代。

1913年1月16日，拉马努金写了一封或许是数学史上最著名的信，信是这样开头的:

尊敬的先生：

谨自我介绍如下，我是马德拉斯港务信托处的一个职员，年薪仅20英镑。23岁。我未完成大学教育......未能按常规按部就班地学习正规课程，但我在开辟自己的道路......本地数学家说我得到的结果是"令人惊奇"的......我恳求您读完所附的论文。因为我很贫困。如果这论文多少还有一点价值的话，请您发表我的这些定理......

哈代收到了信

哈代找来自己的搭档认真看了一下拉马努金的信，他们确信这个人是天才。同时哈代马上行动，他四处向人展示这封信，还表示有把拉马努金请到剑桥来的意愿。

1914年3月17日，拉马努金告别父母妻子，乘坐"内瓦萨号"驶离码头，前往英国，开启了人生新的篇章。

到了英国之后，拉马努金跟哈代开始进行学术的交流。拉马努金拿出自己的笔记本给哈代看，里边的公式达3000多个，其中大约有三分之一是欧洲数学家在过去上百年时间内陆陆续续发现的，而三分之二则是全新的！看过拉马努金笔记的数学家没有不被迷住的。他们一致认为，笔记里记载的公式具有极为丰富的内容，如果要好好研究、给出证明的话，一定得投入大量时间和精力。

随便举一些拉马努金的公式，很多公式直到今天还没有被人参透

比如拉马努金圆周率公式：

圆周率的解析表达式。从数值分析的角度看，这个表达式是对的。

哈代与拉马努金开始合作论文，但拉马努金的直觉不严格，要写出规范的论文不太顺利。这个天才有个大问题，就是只写结论，不写过程。不过从哈代对拉马努金发表的一些评论来看，他十分欣赏拉马努金的直觉，认为当世数学家中拉马努金无可匹敌，甚至超过了头号数学家希尔伯特。

在拉马努金与哈代合写的论文中，其中有一篇震惊了整个数学界，这篇论文为困扰了数学家几个世纪的整数分拆，提供了一种可靠的计算方法，即拉马努金同余式（Ramanujan's congruences）。

正是因为这篇论文，拉马努金才被提名为皇家学会会员。当时，一些伟大的数学家都签署了他的提名，包括J. E. Littlewood、Alfred Whitehead、哈代以及很多其他人。1918年5月2日，年仅30岁的拉马努金被评选为英国皇家学会会员，成为有史以来最年轻的会员之一。

超越时代的拉马努金

然而天妒英才，1919年拉马努金病重（肺结核或者是肝变形虫）回到了印度。也许他可能自知时日不多，他更加狂热地工作，在他能找到的任何纸上做计算。在接下来的那个四月，32岁的时候，他去世了。

他回到印度之后的成果记录在《遗失的笔记》中。

说是遗失的笔记是这些笔记在他过世之后很长时间内根本没人知道。他那些手稿被保存在了剑桥三一学院的图书馆和各种账单与信件一起放在一个盒子中，直到1976年，宾夕法尼亚州立大学的安德鲁斯博士发现了它们，这就是所谓的“遗失的笔记“。

而读懂这些笔记，又花费了大量数学家的头发。因为拉马努金对公式有着超凡的直觉，所以他的笔记中也是结论，少有证明。

拉马努金曾说：娜玛卡女神在梦中启示他公式。

但这并不妨碍他这些公式的意义，比如拉马努金的笔记中留下了大量关于和与积分的评估。他尤其擅长一种叫做模形式（modular forms ）的数论。相较于他去世的时候，现在的模形式引发了更多人的兴趣。

《遗失的笔记》中开启了对模拟θ函数（ mock theta functions）的研究，这一函数最近几年才被完全理解。遗失的笔记一共有160页，而最顶尖的数学家做了大量工作对《遗失的笔记》进行大量的注解。美国数学家Bruce Berndt 教授和George Andrews 教授整理出版，全套书有几千页。

为了解释拉马努金的160页公式，

这种证明注释了好几千页

拉马努金的的这些公式涉及到人工智能、黑洞理论，奇点，等等诸多高深学科领域的非常复杂的理论。在当时这些理论，不仅连雏形都没有，就连这种理论的文字都没命名，而这样的公式有3900条。

结语

有的人可能问，这些有啥用么？挣钱吗？能买房吗？

呃，其实这些纯数学理论没有直接的用处。

但是很多科研人员痴迷于此仅仅是为了欣赏数学之美，求道解惑。他的这些看似天书似的数学公式可能在一些完全想不到的地方发挥着无可替代的作用。

比如2012年，在拉马努金诞辰125周年的纪念日上，几位数学家宣布，他们搞明白了拉马努金留下的一些公式。他们证明物理学家可以用拉马努金的几个公式可以像进行计算普通物理系统的熵一样计算黑洞的熵。

然而，这并不是拉马努金数学遗产的终点，拉马努金的数学宝库给物理学提供了大量重要的工具。比如研究量子黑洞（迷你黑洞）的研究中拉马努金的数学就起了巨大的作用。

拉马努金与量子黑洞

天才还是存在的。

拉马努金只活了32岁，如果他活64岁，情况会怎样？