调和级数为无穷级数的研究提供了极好的素材。让我们证明它是发散的。我们将采取两种不同的方法。首先，一个矛盾的证明。
假设级数收敛我们表示和：
我们可以把这个级数重新组合：
那么
在我们进一步讨论之前，先说明一下：我们不能总是把无穷级数分割开来。举个例子：
根据分割方式的不同，这个级数的值是0或1。关键是，我们只能分解一个收敛的级数。更重要的是，级数必须是绝对收敛的。绝对收敛意味着即使我们取每一项的绝对值级数也收敛。如果我们用一个发散的级数来尝试，就会遇到矛盾。
我们假设调和级数收敛。由于每一项都是正的，这个假设意味着绝对收敛。我们可以继续。
鉴于以上所述，它遵循偶数序列和奇数序列具有相等的和：
接下来，我们逐项比较偶数系列和奇数系列：
每一项都比它下面的项大。奇级数大于偶级数。
这两个级数既相等又不相等，矛盾出现了。因此，调和级数收敛的前提假设是错误的，所以这个系列是发散的。
此外，每增加一项，部分和就增加一项。我们不仅知道级数是发散的，我们还知道它会无限地变大。
这就完成了反证法。我们从一个前提开始，然后根据它得出合乎逻辑的结论。当这个结论包含一个矛盾时，这个前提就被推翻了。
下一个：一个更直观的方法，用一点点微积分。
在下面的插图中，级数的每一项都对应于矩形的面积。每个矩形都比曲线略高。因此，x = 1右边的曲线下的面积一定小于级数的和。
但是曲线下的面积是多少？
曲线下的面积无限增大。因此，矩形内的面积总和也必须无限增加。
这就是我们把整个证明颠倒过来的地方。我们可以从第一个证明开始知道调和级数是收敛的。然后，我们可以把它作为我们的目标来证明曲线下的面积是无限的。
只考虑x = 1右侧的面积，矩形面积的和比级数的和小1。但是我们的第一个证明使我们确信和式趋于无穷。删除第一个矩形不会改变它，曲线下的面积必然是无穷大的。
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