你们要的证明来了——证明欧拉数e是无理数

之前写过一篇文章证明了圆周率π是无理数，有小伙伴问我能不能证明自然数e也是无理数。今天，在这篇文章中，我将描述两个简单的证明欧拉数e≈2.71828是无理数。第一个证明是由法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶提出的。第二个证据是法国数学家查尔斯·埃尔米特提出的。

e的简史

常数e的发现归功于雅各伯努利，他是伯努利家族中最著名的数学家之一，当时他试图找到极限

• 方程1:这个极限等于e。

这个常数最初由字母b表示，在1690年和1691年，德国博学者戈特弗里德·莱布尼茨和荷兰物理学家、数学家克里斯蒂安·惠更斯的书信往来中首次使用。然而，是数学家莱昂哈德·欧拉在1731年给德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的一封信中引入了符号e。e首次出现在出版物中是在欧拉1736年的《力学》一书中。

• 图1:伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉和他的著作《力学》，这是第一本包含公式1给出的量的符号e的出版物。

常数e也可以通过无穷级数得到：

• 方程2:常数e表示为无穷级数的和。

无理数是不能由整数的比构造的实数。无理数的集合中，两个著名的常数是e和π。在这篇文章中，我将描述两个关于e的无理性的证明。

如下图所示，为实数集图。超越数不是多项式的有理系数的根。有些无理数是先验的(比如e和π)，但有些不是。后者称为代数数，可以是有理数多项式的根。

• 图2所示为：实数R(包括本论文中所述的实超越数和实代数数)、无理数、有理数Q、整数Z和自然数N(源)。

矛盾证明

矛盾证明是一种通过证明如果一个人假设命题是假的，那么他就会导致一个矛盾，从而确定命题是真的证明。这是一种被称为“归谬法”的论证的特殊情况。

如引言所述，本文的目的是证明e是无理数。将给出两种证明，都是通过矛盾证明的。它们是：

1. 1. 证明1：证明e是无理数，它基于无穷级数的使用，由约瑟夫·傅里叶提出。

2. 2. 证明2：证明e^r是无理数，r是任何非零有理数。这个证明是由查尔斯·埃尔米特提出的，它比证明1更普遍。

证明

让我们从简单但不那么普遍的第一个证明开始(见西蒙斯)。

• 图3：法国数学家和物理学家约瑟夫·傅里叶，下面的证明I的作者。

证明1： e是无理数。

我们可以将方程2改写如下：

• 方程3：方程2的项重新排列。

由于等式右边显然是正的，我们得出结论，对于任意正整数n，等式左边也是正数。现在假设e是有理数的：

• 方程4：我们假设e是有理数

现在，对于任意的q我们总是可以选择一个n的值，使得n>q。我们下一步是定义以下数字a：

• 方程5：a的定义。

因为n > q， n !可被q整除：

• 方程6

这意味着公式5中的数字a是一个正整数(回想一下，我们假设e是有理的)。然而，使用方程3我们发现：

• 方程7:这个不等式与我们之前得出的a是正整数的结论相矛盾。

这与我们之前得出的a是正整数的结论相矛盾。因此，我们的结论是，我们对e是有理数的最初假设一定是错误的。

这一证明的最早出版物之一出现在1815年的《代数分析与几何》一书中。包含部分证明的页面如下图4所示。

• 图4:最早能找到约瑟夫·傅里叶的证明(我们的证明1)的一本书是加诺特·德·斯泰恩维尔的《几何和代数分析》。以上是两页的证明。

证明2：e:^r是无理数，r是任何非零有理数。

现在让我们来考虑e是无理数的第二个证明(见西蒙斯)

• 图5:左边，法国数学家查尔斯·埃尔米特，我们的第二个证明的作者。

对于这个证明，我们将使用以下辅助函数：

• 方程8：这个函数f (x)将用于证明e^r是无理数。

其中n是整数。这个函数可以写成幂展开形式：

• 方程9：方程8中的函数写成幂级数展开式。

例如，对于n = 1和2，我们有:

• 方程10：f(x)在n =1和2是由方程9给出的展开式的例子。

对于0< x < 1，遵循以下不等式：

• 方程11：函数f(x)所服从的不等式

方程11的证明可以在我以前的一篇文章中找到。还需要f(x)的其他三个性质。其中两项是：

• 方程12:f(x)的性质。

式中(m)为m次导数。第三个属性是：

• 方程13，我们需要f(x)的第三个性质

这是一个整数。注意：f(x)和它的所有导数在x=0时都是整数

由于f(x)在x与1-x交换时保持不变(反之亦然)，函数本身及其导数在x=1时也是整数。

现在根据r = p / q和e^为有理数。然后,我们有:

• 方程14:这些步骤显示证明e^r是非理性的,这是足以证明对于每个正整数p，e^p是非理性的。

因此足以证明对于每个正整数p e^p是无理数。现在我们假设整数a和b为e^p= a / b，并定义以下函数F（x）：

• 
  方程15:本证明中用到的函数F(x)的定义。

不难证明F(0)和F(1)是整数。然后对下面的等式进行积分

• 方程16：f(x)与F(x)相等。

在0和1之间。结果是一个整数:

• 等式17：等式16在0和1之间的积分得到一个整数。

但是，利用式11我们得到：

比较我们得到的最后两个方程：

• 式18：n→∞时的不等式。

根据式18，不等式之间的表达式不能是正整数。但这与方程17矛盾。选择r=1，我们发现e也是无理数，证毕。