为什么你买了这么多的彩票，却很少中奖？ ——彩票中的概率与期望

1987年7月，新中国成立后第一张福利彩票——“中国社会福利有奖募捐券”在天津市造币厂印刷完毕，最初的广告语是“衷心祝愿您为发展市社会福利事业作出您有意义的募捐”和“衷心祝愿您在有奖募捐中荣获高奖”。

中国社会福利有奖募捐券

到如今，彩票已陪伴大多数国人走过了33年，在我国，国家发行的彩票有两种，分别是中国福利彩票和中国体育彩票。中国福利彩票由中国福利彩票发行管理中心负责发行销售，以“扶老、助残、救孤、济困”为宗旨；而中国体育彩票则是由国家体育总局体育彩票管理中心负责发行销售，是为筹集体育事业发展资金发行的。

在我们身边，特别是在城市里，基本上每隔几条街道就会有一家彩票投注站。据不完全统计，截至去年年底，我国彩民数量已达3亿多人，相信在不少人身边都有买彩票的人，可能是你的家人、朋友，也可能是正在读这篇文章的你。

彩票投注站

而每当笔者和身边的朋友聊到彩票这个话题的时候，常会听到他们说：“彩票买得多，不说中大奖，就连小奖都不容易中。”也相信不少朋友都有这样的感受，那我们今天就来谈谈，为什么你买了这么多的彩票，却还是很少中奖。

在国家发行的中国福利彩票和中国体育彩票下，彩票的类型又分为乐透型、竞猜型、即开型、数字型、视频型等，每种彩票各有各的玩法。我们以当前市场上比较受欢迎的某超级大乐透彩票为例，分析其投注成本、中奖概率和期望收益之间的关系。

当你在投注站购买一注大乐透体育彩票时，你需要在前区编号为1—35的号码中选取5个作为你的“前区号码”，再从后区编号为1—12的号码中选取2个作为你的“后区号码”，由此组成的“5+2”共7个号码即为你的Lucky Number（幸运数字）。这7个号码组成一注最简单的彩票，它会花掉你两块钱，然后你只需要静静地等待开奖。

彩票开奖视频

开奖会在公证人员的监督下完成，并且开奖过程的视频会在网上进行播出。开奖时会先从装有35个小球的前区摇奖机中摇出5个中奖号码，再从装有12个小球的另一个后区摇奖机中摇出2个中奖号码，由此组成“5+2”形式的中奖号码。如果你买的那一注彩票号码跟开奖的号码相对应，那就能获得最高可达1000万元的奖金，选中的数字越少，对应的奖金也就越低。

“超级大乐透”彩票中奖规则

了解了大乐透彩票的投注和中奖规则，那么我们就可以很轻松地求出投中每个等级奖金的概率。根据投注规则，计算得出该彩票的投注方式共有X=C35(5)*C12(2)= 21425712种（即前后区所有的数字组合方式有2142.5712万种）。

乐透型彩票可看作古典概率模型中的摸球问题

2142.5712万种为该彩票所有的数字组合方式，即所有的中奖或不中奖的彩票都在其中，则根据中奖规则：

① 获得一等奖的情形和概率

前区5个全中，后区2个全中；即中“5+2”

P1=C5(5)*C2(2)÷X=1/21425712（约2142万分之一）

② 获得二等奖的情形和概率

前区5个全中，后区中1个；即中“5+1”

P2=C5(5)*C2(1)*C10(1)÷X=20/21425712（约107万分之一）

③ 获得三等奖的情形和概率

前区5个全中，后区中0个；即中“5+0”

P3=C5(5)*C10(2)÷X=45/21425712（约48万分之一）

④ 获得四等奖的情形和概率

前区中4个，后区2个全中；即中“4+2”

P4=C5(4)*C30(1)*C2(2)÷X=150/21425712（约14万分之一）

⑤ 获得五等奖的情形和概率

前区中4个，后区中1个；即中“4+1”

P5=C5(4)*C30(1)*C2(1)*C10(1)÷X=3000/21425712（约7100分之一）

⑥ 获得六等奖的情形和概率

前区中3个，后区中2个；即中“3+2”

P6=C5(3)*C30(2)*C2(2)=4350/21425712（约4900分之一）

⑦ 获得七等奖的情形和概率

前区中4个，后区中0个；即中“4+0”

P7=C5(4)*C30(1)*C10(2)=6750/21425712（约3200分之一）

⑧ 获得八等奖的情形和概率

前区中2个后区中2个，或前区中3个后区中1个；即中“2+2”或“3+1”

P8=[C5(2)*C30(3)*C2(2)+C5(3)*C30(2)*C2(1)*C10(1)]÷X=127600/21425712（约168分之一）

⑨ 获得九等奖的情形和概率

前区中1个后区中2个，或前区中3个后区中0个，或前区中2个后区中1个，或前区中0个后区中2个；即中“1+2”、“3+0”、“2+1”或“0+2”

P9=[C5(1)*C30(4)*C2(2)+C5(3)*C30(2)*C10(2)+C5(2)*C30(3)*C2(1)*C10(1)+C30(5)*C2(2)]÷X=1287281/21425712（约16.6分之一）

一注体彩”超级大乐透“彩票

结合以上九种情形的中奖情况，我们大概知道这种彩票的中奖概率大概是十五分之一（6.67%左右），同时我们把每个奖级的奖金乘以对应奖级的概率，再相加到一起就可以得到一注彩票的期望收益。又因为该彩票一、二等奖奖金是根据奖池累计金额和中奖注数浮动计算的（一等奖一般在500~1000万之间，二等奖一般在5~30万之间），因此我们假设某期开奖金额一等奖为1000万，二等奖为20万。

则一注该彩票的期望收益为E=10000000*P1+200000*P2+10000*P3+……+15*P8+5*P9≈1.02元。也就是说，你花2块钱买的一注彩票，期望收益为1.02元，有一半的钱都打了水漂。

以上我们讨论的是只买一注彩票、单倍投注的方式，实际上彩票的玩法花样也越来越多，总的来说就是你买得越多，中奖的概率越高，相对应你花的钱就越多，最后可能亏的钱也会越多。单注奖金有上限，奖金池金额再多，期望值都很低，这也就是为什么你买了这么多彩票，但基本上都在亏钱的原因。

离散情况的数学期望

那有朋友可能会问，有没有办法容易中彩票一等奖呢？答案是只能靠运气或使用穷举法，而使用穷举法可以让你100%中头奖。即你花费4285.1424万元买下彩票所有的2142.5712万种数字组合，那么你将中得一等奖1注，二等奖20注，三等奖45注，四等奖150注，五等奖3000注，六等奖4350注，七等奖6750注，八等奖127600注以及九等奖1287281注，共计中得2569.5405万元。

同理，也有人问市面上另一种比较受欢迎的彩票“双色球”，其中奖概率和“超级大乐透”相比是更高还是更低呢？其实，我们计算中奖概率的原理同上，在此笔者不做详细的计算分析了，结果见下表：

双色球中奖概率与期望收益

不难发现，其实在国内流行的各种彩票类型中，大部分的数学期望都在1元左右（以平均每投入2元来说）。那是不是说我们应该抵制彩票呢？这就是仁者见仁，智者见智的问题了，有的人认为“彩票是假的，不可能中头奖。”而有的人认为只要自己坚持买下去，说不定哪天幸运女神就能眷顾自己。笔者这篇文章只是想告诉大家可以通过数学期望来估算彩票的收益，虽然大部分人是亏钱的。

但其实国家设置福利彩票的初衷并不是为了赚民众的钱，也不是为了每天创造出几个“暴发户”，而是一种取之于民用之于民的公益手段。我们从中国福利彩票发行管理中心官方网站上可以看到每期销售额的资金分配情况：双色球每期有51%用于返奖，除去2%的调节基金，每期只有49%用来派奖（中奖奖金），13%为彩票发行费（成本费用），36%为彩票公益金（公益事业）。

彩票资金分配

也就是说，你购买了一张10块钱的彩票，其中的5.1元用来设置奖金返奖，1.3元是彩票的发行成本，还有3.6元用于“扶老、助残、救孤、济困”和筹集体育事业发展资金等公益事业。

彩票公益活动

中国的彩票是一种取之于民用之于民的公益手段，想要发家致富只能靠努力投注和幸运女神的眷顾。前几年长沙有一位倪先生在6年间先后挪用公款1500余万元用于购彩，最后中得260万元大奖和一副“白金手镯”。

湖南一出纳挪用公款购彩获刑10年6个月

因此，广大彩民朋友们也千万不要把它当作赚钱的工具，也切不可听信所谓的“彩票达人”之类的分析，谨防上当受骗。毕竟小买怡情，大买伤心，强买倾家荡产啊~