世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解

[遇见数学创作小组]作者：烂柯野人，参考: Mathologer 视频，维基百科。

本文给出一个高中生也能看懂的证明方法，由瑞典数学家约翰·海因里希·兰伯特在1761年给出。此方法利用三角函数的泰勒级数展开，巧妙的反复运用倒数技巧得到了tan x的连分数表示，然后证明了这个连分数是一个无理数。据信，这个也世界上第一个证明π是无理数的方法。此方法简洁易懂，即使从现在的观点来看，其思路也非常具有启发性。

▲ 约翰·海因里希·兰伯特(图行二左三)

▌准备工作

1）无理数和反证法

无理数是指不能写成分数的数。如果需要证明某个数是无理数，大多用反证法，即假设它可以表示成两个整数的比，然后推导出矛盾，以此证明假设不成立。

例如，如何证明lg3是无理数？可以先设 lg3 是有理数，于是有

即

两边同取n次幂

得到

这个等式显然不成立，因为其左边是一个偶数而右边是一个奇数，得到了矛盾的结果，因此lg3是有理数的假设不成立。附一中有几个练习，请试试。

2）连分数

连分数(Continued fraction)也叫繁分数，是形如下图的分数：

其中a0、a1、a2……，b0、b1、b2……为实数或复数。连分数常用来逼近无理数，这也是最早研究连分数的动机，想将实数用“纯粹的数学”表示出来。连分数的相关理论在数学中有着重要作用，它是数论及线性方程研究中的一个重要工具，与概率论、级数递归、函数逼近、工程技术和计算机科学等也有联系。

连分数因大数学家欧拉而广为人知，欧拉证明了形如下图的、所有分子都是1、所有分母都是正整数的无限简单连分数均是无理数。

实际上，上图中的无限连分数等于，其分母是121212……无限循环。欧拉利用连分数的这一无理性质证明了自然底数e是无理数，并且得到了e的无限连分数形式：

从第二个2开始，其分母是211、411、611、811、1011……。兰伯特是欧拉在柏林科学院的同事，熟悉欧拉对连分数的研究和成果，他因此冒出一个好主意：将tanx写成连分数形式。

3）麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0点的特殊形式。若f(x)在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中

表示 n 阶导数且(0 <θ<1)。因为y=sinx在x=0处具有任意阶导数，用麦克劳林公式在x=0处展开sinx，得到：

同样展开cosx得到：

▌证明过程

第一步，兰伯特得到了tanx的连分数表示：

第二步，兰伯特证明了，当x是除0之外的有理数时，tanx是无理数。所以tan(1/2)、tan(3/4)等都是无理数。

第三步，因为tan(π/4)=1，1不是无理数，所以π/4不能写为分数形式，即不是有理数，从而证明π是无理数。

1）第一步，得到tanx的连分数表示

将sinx和cosx的展开式代入

得到

从红色分数线分子上提出一个x，

由于

所以有

对红分数线上的分子加上红分数线的分母再减去红分数线的分母，得到

调整下顺序

去括号

计算红框内的对应项，得到

式中，蓝底色的两部分相同，因为

所以有

对红分数线上的分子统一提出-x2，得到

再次使用倒数技巧得到

再反复使用分子加减分母法，这次因为分母是1/3，为消去红分数线上的常数1，给分子加3倍的分母再减去3倍的分母得到

整理得到

如此反复计算下去，最终得到

可以通过对比tanx和连分数的图形验证这一结果。下图是取连分数第一层时的图形（蓝色）与tanx的图形（棕色）对比，两个图形在0点重合。

取连分数的第二层时，图形更加接近，如上图。取越多的部分作图，就越逼近tanx的图形，证明这个连分数是正确的。

2）第二步，证明 x 为有理数时 tanx 是无理数

设x是有理数，则x可以写为 u/v，其中u和v均为正整数，代入得到

化简右边连分数，给分子分母同乘v，得到

这个无限连分数，除了第一个分子是u，其它的分子都是u。分母则越来越大，也就是说，从某一处向后，分母会比分子大很多。现在来证明这个无限连分数是无理数。

根据u和v的不同，可能是55v或555v才比u大，这里不防设5v比u大2，那么从这一点向后，所有的分母都比分子至少大2。

由

得到

那么下图中蓝色后面所有部分是大于0小于1的

同样，如下图，从7v开始，之后的所有部分也是大于0小于1的。

如果上两图中的蓝色部分或者绿色部分是无理数，那么整个连分数就是无理数。现在来证明从5v开始的蓝色无限连分数是无理数。令蓝色部分等于B/A，有B/A<1，即A>B。

所以得到：

再考虑7v向后的部分，整理上面的式子得到下式

由于A、B、v、u都是整数，所以B5v-Au也是一个整数，令其等于C。

因为7v向后的部分也是大于0小于1的，所以又得到：

所以现在有：

再考虑9v向后的部分又得到：

因为这是一个无限连分数，所以反复这样做可以得到一个无限递减数列：

由于数列中所有数都是正整数，而数列的大小是无限的，无论A有多大，始终都会在有限次递减后小于0，所以不存在这样的一个递减数列。

于是，之前从5v开始的蓝色部分无限连分数是有理数的假设是错误的。于是得到

tan(u/v)=无理数

3）第三步，π是无理数

因为

而1不是无理数，根据原命题与逆否命题具有相同的真假性（如果π/4=u/v，那么应该得到一个无理数而不是1），得到π/4不是有理数，所以π不是有理数。

得证。

4）一张图总结

• 附一，练习

为什么？为什么我只能推导出下面的不等式？

2）

是无理数吗？怎么证明？

3）

是无理数吗？怎么证明？

4）怎么推导出根号3等于下图中的连分数？

5）文中推导tan x的连分数时，给分子加上了一个分母又减去一个分母。其中无论是分子还是分母，都是很大的无穷级数，它们应该不支持交换律和结合律，但兰伯特为什么能对分子进行去括号、交换计算顺序等操作？

附二，最短证明，也就是数学家 Ivan Niven 给出的证明：