中考冲刺，一次函数实际问题的图像难题如何求解，期待你来挑战

一次函数的而应用题，信息量大，综合性强，不仅仅考察了一次函数的图像及性质，还考察了阅读理解能力及构造方程的能力等，对于初学者来说，无疑是一个难点.解决一次函数应用问题的一般步骤：a．分析问题：(1)一种类型是借助图、表等手段分析题目中的数量关系，从而确定函数解析式；(2)再一种类型是根据函数图像获取信息，分析数量关系．b．确定模型：根据获取到的信息确定一次函数模型．c．解决问题：根据题目中的数量关系或者数学模型，将具体数字代入，从而解决问题．

应注意做到以下几点：1、对于有图像的应用题，首先从函数的图像入手，搞清楚函数图像的实际意义，把那些关键的点，线给求出来，往往能够起到事半功倍的效果——这一点可是绝招中的绝招！2、搞定了图像，再会看题目的关键信息，许多问题就迎刃而解了。3、对于没有图像的应用题，一边读题，一边吧关键的数据及数据之间的关系罗列出来——其实读题就是搞翻译工作，把文字语言翻译成数学语言——方程和解析式！

类型1 图像的选择1.（2019安徽模拟）已知A，B两地相距240km，甲车先从A地出发30min后，乙车从B地出发，相向而行，甲车全程以80km/h的速度行驶，乙车以90km/h的速度行驶1h后，再以75kmh的速度驶完剩余路程，下列选项中能正确反映甲、乙两车距A地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）函数关系的图像是（　　）

【解析】本题主要考查了函数图像的性质，读函数的图像时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图像结合实际情况采用排除法求解．由于甲车先从A地出发30min后，乙车从B地出发，乙的图像第一次拐点在0.5小时，乙车以90km/h的速度行驶1h后，再以75kmh的速度驶完剩余路程，所以第二次拐点在1.5小时，驶完剩余路程需要（240﹣90）÷75＝2小时，故全程结束需要3.5小时．故选：A．2.（2019全椒县一模）已知A、B两地相距1000米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，若甲行走的速度为100米/分钟，乙行走的速度为150米/分钟，且两人同时出发，相向而行，则两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数图像是（　　）

【解析】本题是一次函数的应用，考查一次函数的图像，解题的关键是明确题意并根据图像信息读出已知条件，利用数形结合的思想解答问题．两人相遇时所用时间为1000÷（100+150）＝4（小时），乙从B地步行到A地所用时间为1000÷150＝20/3（小时），甲从A地步行到B地所用时间为1000÷100＝10（小时），由此可知选项C能反映两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的关系．故选：C．解题反思：本题考查利用函数的图像解决实际问题，正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决。

类型2 图像特殊点意义3．（2019余杭区二模）已知A、B两地之间的笔直公路上有一处加油站C（靠近B地），一辆客车和一辆货车分别从A、B两地出发，朝另一地前进，两车同时出发，匀速行驶．如图所示是客车、货车离加油站C的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图像．（1）求客车和货车的速度；（2）图中点E代表的实际意义是什么，求点E的横坐标．【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【解答】（1）由图可得，客车的速度为：360÷6＝60km/h，货车的速度为：80÷2＝40km/h；（2）图中点E代表的实际意义是此时客车与货车相遇，设点E的横坐标为t，60t+40（t﹣2）＝360，解得，t＝4.4，即点E的横坐标为4.4．解题反思：解这类问题，关键在于弄清：纵轴、横轴各表示什么量，图像上每一点（特别是转折点）、每一段图像各表示什么？解题时一定要结合图像、认真审题，理解题意4.（2019广西模拟）某个周末，小丽从家去园博园参观，同时妈妈参观结束从园博园回家，小丽刚到园博园就发现要下雨，于是立即按原路返回，追上妈妈后，两人一同回家（小丽和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）如图是两人离家的距离y（米）与小丽出发的时间x（分）之间的函数图像，请根据图像信息回答下列问题：（1）求线段BC的解析式；（2）求点F的坐标，并说明其实际意义；（3）与按原速度回家相比，妈妈提前了几分钟到家？并直接写出小丽与妈妈何时相距800米．【分析】本题是一次函数结合函数图像的综合应用，涉及到多次用待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，结合函数图像分析数据等，难度较大．【解答】（1）由图像可知，点A（30，3000），点D（50，0）设线段AD的解析式为：y＝kx+b，将点A，点D坐标代入得3000=30k+b,0=50k+b,，解得k=-150,b=7500，∴y＝﹣150x+7500．将x＝45代入上式得y＝750，∴点C坐标为（45，750）．设线段BC的解析式为y＝mx+n，将（0，3000）和（45，750）代入得：3000=n,750=450m+n,，解得m=-50,n=3000，∴y＝﹣50x+3000．答：线段BC的解析式为y＝﹣50x+3000．（2）设OA的解析式为y＝px，将点A（30，3000）代入得：3000＝30p，∴p＝100，∴y＝100x．由y=-50x+3000,y=100x联立方程组，解得x=20,y=2000，∴点F的坐标为（20，2000），其实际意义为：小丽出发20分钟时，在离家2000米处与妈妈相遇．（3）在y＝﹣50x+3000中，令y＝0得：0＝﹣50x+3000，∴x＝60，60﹣50＝10，∴妈妈提前了10分钟到家．由|100x﹣（﹣50x+3000）|＝800，得：x＝44/3或x＝76/3；由（﹣150x+7500）﹣（﹣50x+3000）＝800，得x＝37．答：妈妈提前了10分钟到家，小丽与妈妈相距800米的时间是44/3分钟，76/3分钟和37分钟．【解后反思】正确理解函数图像横纵坐标表示的意义，抓住交点，起点、终点等关键点，理解问题的过程，就能够通过图像得到函数问题的相应解决；与行程有关的图形信息题中如果要求速度，一定要从图中读到一定的时间内路程的变化，用路程的变化除以时间的变化即为速度. 类型3 化复杂实际问题背景下的图像5．（2019鞍山一模）一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后按原路返回：卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，两车到达甲城后均停止行驶，两车距离甲城的路程y（km）与出发时间t（h）之间的关系如图1所示，请结合图像提供的信息解答下列问题：（1）求轿车和卡车的速度；（2）求CD段的函数解析式；（3）若设在行驶过程中，轿车与卡车之间的距离为S（km）行驶的时间为t（h），请你在图2中画出S（km）关于t（h）函数的图像，并标出每段函数图像端点的坐标．【分析】本题考查一次函数的图像及应用；掌握用待定系数法求解析式，能够结合问题情境求出两车的速度，分析出运动过程中的几个转折点是解题的关键．【解答】（1）轿车的速度为180÷1.5═120（km\h），∴A（1，120），卡车的速度为（180﹣120）÷1＝60（km/h）；（2）∵卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，∴D（3.5，0），C（2，180），设直线CD的解析式为y＝kx+b，0=3.5k+b, 180=2k+b, k=-120,b=420,∴CD段函数解析式为：y＝﹣120x+420（2≤x≤3.5）；（3）如图：0≤t≤1，S＝180﹣180t；1＜t＜1.5，S＝180t﹣180；1.5≤t≤2，S＝60t；2＜t＜3，S＝240﹣60t；3≤t≤3.5，S＝420﹣120t；【解后反思】一次函数的图像含有大量的有价值的信息，从函数图像中获取有价值的信息，正确地进行“形”和“数”的转换，理解图像，读取信息，数形结合是解决函数图像应用问题的关键.求函数图像对应的解析式，大都用待定系数法，先根据函数图像的特点确定函数类型，设函数一般表达式，然后将函数图像上点的坐标代入一般表达式得到方程组，解方程组得到待定系数，从而得到所求的函数解析式. 6. 某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C，甲车先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地，图6是甲、乙两车间的距离y（千米）与乙车出发x（时）的函数的部分图像（1）A、B两地的距离是_______千米，甲车出发_______小时到达C地；（2）求乙车出发2小时后直至到达A地的过程中，与的函数关系式及的取值范围，并在图中补全函数图像；（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米分析：本题是行程类图像问题中的一道难题，y表示两车之间的距离，乙车图中有停留，且两车不是同时到达各自的中点，本题的图像是不完整的，故本题中的关键点较多，难度较大。（1）观察图像，直接回答问题；（2）理解点（1.5，30）及（2，0）的含义，即此时甲不运动，乙运动，由此可求乙运动速度，再求甲的速度，其图像关于直线x＝2对称，根据对称点求分段函数．（3）把y＝150代入此函数段的函数解析式即可，注意共有两种情况．动态演示分析如下：

【解答】（1）由图像可知，A、B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；（2）由图像可知，乙的速度为v乙＝30÷（2﹣1.5）＝60，设甲的速度为v甲，依题意得：（v甲+60）×1.5＝300﹣30，解得v甲＝120，当2≤x≤2.5时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，2小时这一时刻，甲乙相遇；2到2.5小时，甲停乙车运动；则2.5小时时，两车相距30km，∴D（2.5，30），2.5小时到3.5小时，两车都运动；则两车相距180+30＝210，∴E（3.5，210），3.5到5小时，甲走完全程，乙在运动．则两车相距：210+1.5×60＝300，∴F（5，300），把点（2，0），（2.5，30）代入，得y＝60x﹣120，当2.5＜x≤3.5时，设y与x的函数关系式为：y＝mx+n，把点（2.5，30），（3.5，210）代入，得y＝180x﹣420，把（3.5，210），（5，300）代入得y＝60x， 解题反思：解答分段函数图像的问题，要抓住其不同变化阶段的特征，对函数图像变化趋势做出正确的判断，有时也需要研究不同变化过程中的数量之间的关系． 牛刀小试（2019鼓楼区二模）飞机飞行需加适量燃油，既能飞到目的地，又使着陆时飞机总重量（自重+载重+油重）不超过它的最大着陆重量，否则飞机需通过空中放油（如图1）减重，达标后才能降落．某客机的主要指标如图2，假定该客机始终满载飞行且它的加油量要使它着陆时的总重量恰好达到135t．例如，该客机飞1h的航班，需加油1×5+（135﹣120）＝20t．（1）该客机飞3h的航班，需加油______t；（2）该客机飞xh的航班，需加油yt，则y与x之间的函数表达式为_______；（3）该客机飞11h的航班，出发2h时有一位乘客突发不适，急需就医，燃油有价，生命无价，机长决定立刻按原航线原速返航，同时开始以70t/h的速度实施空中放油．①客机应放油______t；②设该客机在飞行xh时剩余燃油量为Rt，请在图3中画出R与x之间的函数图像，并标注必要数据．【练习答案】（1）30；（2）y＝5x+15；（3）①35；②如图所示：

【方法总结】利用一次函数图形与性质解决实际问题，确定函数表达式往往是要利用的，遇到图像交点问题，我们一般是建立两函数图像的解析式，解出方程（组）的解，从而从数量上进行说明，把数与形有机结合起来；在实际问题中，对点的坐标的理解对解决函数相关问题有非常重要的作用，同样的，从点的坐标出发，分析坐标之间的区别与联系也能更方便找出等量关系，从而建立等式解决问题．解答时认真分析求出一次函数图像的数据意义是关键．相遇即是求两个图像的交点的横坐标，而求两个图像交点坐标的常用方法，是联立两个解析式得方程组，方程组的解即是交点的坐标.