揭秘薛定谔方程

在讨论薛定谔创立波动力学时，我们简单讨论过薛定谔方程。鉴于薛定谔方程在量子力学中的极端重要性，我们在这里再花一点篇幅讨论这个方程。德布罗意的物质波的想法在当时是非常大胆的。

德布罗意的导师是著名的物理学家朗之万，朗之万将德布罗意关于物质波的论文送给了当时已经非常著名的爱因斯坦，爱因斯坦对德布罗意的观点给予了很高的评价，并在自己的论文中加以引用。

当时还并不著名的薛定谔通过爱因斯坦的论文了解到了物质波的概念，并产生了浓厚的兴趣。既然物质波是波，那就需要一个波的传播方程。

于是在1926年（其实，薛定谔对德布罗意的物质波概念已经研究了整整一年的时间），薛定谔发表了一个计算物质波传导的方程式，被称为薛定谔方程（值得在这里再写一遍）：这个方程是量子力学中的基本方程（没有之一），它是描述微观世界运动法则的基本理论，是薛定谔在苏黎世大学任教期间提出的。

薛定谔当时利用这个方程计算出了氢原子中的电子能量，其结果与玻尔通过量子化条件得到的结果一致。很快，薛定谔方程得到了普朗克和爱因斯坦的大力赞赏。

历史上，薛定谔方程确实是通过一些“手段”构造出来的。但是，笔者认为，这个构造的过程对现在来说已经不重要了，这也许正是为什么绝大多数的量子力学教科书都没有给出这个“构造”的过程，而是直接将薛定谔方程作为量子力学的一个基本假设来叙述。本书中，我们也是直接给出薛定谔方程的。

虽然是这样，还是应该指出薛定谔提出他的方程时的“立论”：量子客体的波粒二象性。但是，又可以说，在薛定谔方程被提出之后

波粒二象性这个概念就没有那么重要了，因为薛定谔方程本身就是对具有波粒二象性的单个量子客体普遍成立的动力学方程。

物理学是有结构的。物理学的每一个分支学科都有一个基本方程（或方程组）作为该学科的支柱。然后，在各种约束和初始条件下通过求解这些基本方程，就可以演绎出许许多多的结论。

例如，经典力学中的牛顿方程，电磁学中的麦克斯韦方程组，热学中的热力学定律等，它们都是相应分支学科中的基本方程。

量子力学也不例外。虽然量子力学的基本方程可能有不止一种说法，但是无论哪个学派都能够接受把薛定谔方程作为量子力学基本方程的说法。

因此，本书主要讨论的就是把薛定谔方程作为基本方程时所引申出来的各个物理量和各种基本概念。可以强调一下，薛定谔方程在量子力学中的地位和作用就像牛顿方程在经典力学中的地位和作用一样。

要想深刻地理解薛定谔方程，可能需要比较多的数学和物理学知识。因此，本书中我们只能“尽力而为”地对薛定谔方程进行讨论。

我们将尽量通过语言的直叙来说明该方程的特点。

（1）薛定谔方程的解是波动的，所以ψ 称为波函数（在这之前，我们也称它为态函数），它就是拿来表示物质波的。

薛定谔方程的提出，意味着波函数是体系的基本量，即一旦波函数得以知道，体系的所有性质便能确定下来。

（2）薛定谔方程的左边有一个因子i，它是表示虚数的符号，也就是说i 的平方将会得到一个负数 -1。所以，薛定谔方程的解波函数ψ 一定是复数，就是一种波。

（3）当体系的初态ψ(r,0) 给定之后，以后任一时刻的状态ψ(r,t) 就可以由这个薛定谔方程完全确定下来。只是要注意，状态ψ 并没有实在的对应，只有它的平方—— 才对应着找到粒子的几率。

这是量子力学中最基本的概念之一。读者还可以从5.2节的“态叠加原理”那里比较深入地理解ψ 和的重要区别。

（4）定态薛定谔方程是一个本征值问题。所谓本征值问题，请参考4.3 节的“量子力学的基本假设”。薛定谔在建立关于体系态函数ψ 的波动方程时

他自己也不清楚这个态函数（或波函数）是什么东西。他给出了一个关于态函数的半经典解释，最后被玻恩的几率解释所取代。

温策尔（Wentzel）、奥本海默和狄拉克等人依据玻恩的几率解释成功地处理了卢瑟福散射以及光的色散等过程。从此，玻恩的几率解释为大家所接受。

这个几率解释证实了量子力学的统计观点，经典力学中所一直公认的自然过程的完全决定性，现在必须放弃掉了。

来看一下自由粒子的情况，可以发现，其实玻恩的几率解释是“很顺的”：为了描述一个完全自由的粒子，量子力学提出“对于一个自由粒子，在空间中任意一点找到该粒子的几率是一样的”

确实对于自由粒子来说，它可以处在空间的任意一点上，而且处在各点的几率应该一样。对应于自由粒子的薛定谔方程，它的波函数就是平面波，而平面波的平方是个常数。

所以很自然地，按照玻恩的几率解释，平面波（波函数）的平方可以用来描述找到自由粒子的几率（对应“在空间任意一点找到该粒子的几率是一样的”）。

顺便提一下，对一个自由粒子运动的描述，如果你有比量子力学的上述图像更加合理的哲学（及其数学描述），那么你就有可能建立起比量子力学更加合理的科学理论，而那将会是人类科学的又一次巨大进步。

一个非常重要却往往被很多书籍忽略的问题是：在薛定谔方程中，一个物理系统的哈密顿量算符应该采取什么形式呢？

通常地，我们可以把经典物理学里的相互作用势的形式照搬过来（没有经典力学对应的物理量除外），但这需要实验的检验才能确定下来。

对于电磁相互作用，经典的类比已经被证明是很有效的。对于本质上很不同的引力相互作用，通过中子的引力干涉实验，也证明了经典的引力势同样适用于量子力学。

薛定谔方程提出之后，量子力学得到了迅速发展，主要的发展有三个方面：

①将量子力学的方程应用到各种的实际问题上去，由此开创了众多新的应用领域

例如，半导体物理、激光物理、超导物理、原子核物理、现代理论天体物理、量子化学以及量子计算等。

这些非常重要的新学科已经成为当代文明社会的基础学科，它们都是以量子力学为理论基础的。

②将量子力学与爱因斯坦的相对论相结合，建立了相对论量子力学和量子场论，并在此基础上诞生了全新的粒子物理学和现代宇宙学。到如今，粒子物

理学和现代宇宙学都已经取得了极其辉煌的成就。

但是至今，量子力学与广义相对论之间还不相容，建立大统一的理论是人们的理想。

③继续越来越深入地探讨量子力学自身的本质问题和理论基础。费恩曼曾经说过，世界上没有人真正理解量子力学。

量子力学的非定域性（如量子纠缠）确实可能还无人能真正地理解。看来，并非只是我们这些凡夫俗子们不能理解量子力学，即便是量子力学的创立者们也还不能完全理解量子力学的本质。

量子力学在以上三个方面的发展都取得了辉煌的成果。值得一提的是，薛定谔方程是无法进行数学证明的，它就是一种猜测或者说是基本假设。

至于猜测得是否正确，只有等待实验的验证。到目前为止，极大量的实验均证明了薛定谔方程的正确性，同时也证明了波函数的假设及其几率解释的正确性。

文：朱梓忠

图源：网络

版权归原作者所有

编辑：张雪珠

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