量子力学：规范不变性是规范场论的基础

规范不变性（gauge invariance）是指拉格朗日量和运动方程在规范变换下保持不变的性质。规范不变性是构造规范理论的基本原理。

粒子体系的拉格朗日量，即粒子体系的动能减去粒子体系的势能的算符。物质场（如电子场、希格斯场等）的相位变换称为规范变换（如电子场Ψ(x)的相位变换Ψ(x)→eiαΨ(x)，常数α为变换参数）。

如果变换参数与时空点无（有）关，则该变换叫作整体（定域）规范变换。单参数的相位变换在数学上可用U(1)群表示，相应的规范变换称为阿贝尔规范变换。具有阿贝尔定域规范变换不变性的理论称为阿贝尔规范理论，如量子电动力学。

如果有多个物质场（如三个不同“颜色”的夸克场），它们的相位变换由非阿贝尔群元素所联系，则称为非阿贝尔规范变换，具有非阿贝尔定域规范变换不变性的理论称为非阿贝尔规范理论，如量子色动力学。上一章讲的杨—米尔斯理论，就是非阿贝尔规范理论。

为了使拉格朗日量具有规范不变性，必须引进规范场，并用协变导数代替普通导数，这就决定了规范相互作用的形式。规范不变性也导致规范场量子的质量为零。像任何别的对称性一样，规范对称性也与守恒流相联系，如在量子电动力学中，与U(1)规范对称性对应的电流即为守恒流，相应的荷守恒即为电荷守恒定律。

对于具有定域手征对称性的规范理论，要保持矢量流的瓦德恒等式，则轴矢流的瓦德恒等式必定被量子效应所破坏（称为轴矢流或手征流反常），从而破坏理论的可重正性和幺正性，必须选取规范群或物质场所属规范群的表示，使得没有手征流反常或反常消去。

如果真空（基态）破坏了规范不变性，则规范场量子可有质量，这样的规范理论称为规范对称性自发破缺的规范理论（如电弱统一理论）。规范对称性自发破缺的规范理论是可重正化的。

上面说了规范不变性是规范场论的基础。反过来也可以这样说规范场论（Gauge Theory）是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群（又称非阿贝尔群）的规范场论最常见的例子为杨-米尔斯理论。

物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等效原理的一个推广。

规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。

最早包含规范对称性的物理理论是詹姆斯·麦克斯韦的电动力学。麦克斯韦在他的论文里特别提出，这理论源自于开尔文男爵于1851年发现的关于磁矢势的数学性质。

但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。大卫·希尔伯特假设在坐标变换下作用量不变，由此推导出爱因斯坦场方程时，也没有注意到对称性的重要。

之后，赫尔曼·外尔试图统一广义相对论和电磁学，他猜想尺度（“规范”）变换下的“不变性”可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，外尔、弗拉基米尔·福克（俄语：Vladimir Fock）和弗里茨·伦敦（英语：Fritz London）实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相位变化—一个U(1)规范对称性），这相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播。

1954年，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论，来建构将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，在阿卜杜勒·萨拉姆指导下，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点在于量子化规范场论。

该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的电弱统一理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出渐近自由的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐近自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。

1970年代迈克尔·阿蒂亚爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，阿蒂亚的学生西蒙·唐纳森 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微性分类和同胚性分类非常不同。麦可·弗里德曼采用唐纳森的工作证明奇异R4的存在，也就是，欧几里得4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论作为数学理论的兴趣逐渐增加，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些数学上的成果也导致了对该领域的新兴趣。所以杨—米尔斯的理论贡献还是很大的。

电磁学中的简单的规范对称性的例子 ：电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。

这称为整体规范对称性。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。

相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。

那么有的同学可能会问了：“这个规范对称性和数学上选取坐标无关是一样的吗？”

我的答案是不一样的。规范不变性是指我们对作用量里的各个场做一个局域的（李群的参数依赖于时空）变换后不变，这会导致我们要对每一个李群的生成元都引入一个矢量场（就是规范场），而且这些规范场的质量项为0（否则破坏了规范不变性）。所以电磁U(1)规范不变性保证了光子的质量为0。

对于像W和Z这样的规范玻色子有质量那是因为希格斯机制的引入，作用量依然规范不变，但是真空对称性破坏了。所以数学上与坐标选取无关和规范不变性还不太一样，坐标选取是对时空的，而我们说的规范不变性一般是内部对称性，当然和时空是有关系的。

规范不变性在物理里意味着什么，意味着理论的可变换，也意味着联系的普遍性。这和广义相对论的等效原理还有联系。等效原理也可以是一种规范不变性。

一些纯几何上的概念描述这个世界本身就很不可思议，另外物理上要求可重整，而现在已知的可重整的理论就是杨—米尔斯理论，汤川耦合(费米子与标量场的耦合)，phi 4(标量场的自耦合)。

还有就是规范不变性和我们现在所知道的众多的“守恒”定律无疑是相观的。也意味着我们可以找到一个大统一理论，因为描述相互作用的正是规范场，如果我们能够找到一个大的群，它的子群包含标准模型SU(3)×SU(2)×U(1)，并且能够找到好的机制使它破缺到标准模型，那么就是个大统一理论。在《变化》一书中，对于这个观点，我认为引力量子化，和广义相对论时空背景平整化是突破点。也就是放弃引力是时空弯曲的观点。而把引力的本质归结为时空，而不是时空弯曲。

摘自独立学者，诗人，作家，国学起名师灵遁者量子力学科普书籍《见微知著》