古希腊三大“不可解”的数学问题，最后一个既简单又复杂

只用直尺和圆规

能解决这三个问题吗

前两天说了说解析几何的故事，今天超模君又忍不住去找找关于几何学的故事……

结果故事没找着，倒是搜到了一大堆有关“古希腊三大几何问题”的资料……

Part 1：“倍立方体”问题

Question：如何只用直尺和圆规作出一个立方体，使得该立方体的体积为已知立方体的体积的两倍。

原来这个问题源于古希腊的一次瘟疫。

传说在公元前429年，一场不知名的瘟疫袭击了希腊提洛岛（Delos），岛上四分之一的人都因为瘟疫而丧生。

面对可怕的瘟疫，岛上的居民们推举出一个代表，到神庙里去询问阿波罗的旨意。

太阳神阿波罗

结果阿波罗传下旨意：想要遏止瘟疫，就把神殿前的祭坛加大一倍吧！

听到阿波罗的旨意，人们便把祭坛的边长都加长了一倍。但是，当新的祭坛做好时，瘟疫并没有得到控制，反而愈加严重。

此时有人质疑说这样做根本不对，阿波罗说的是把祭坛的体积变成原来的两倍。于是人们又把祭坛的体积修改为原来的两倍，但是祭坛的形状变成了一个长方体，瘟疫依旧肆虐。

无奈之下，岛民们只好去雅典求助智者柏拉图。一开始柏拉图和他的学生都认为这个问题很容易，因为他们已经知道如何只用直尺和圆规，来作出一个面积为已知正方形两倍的正方形。

但是他们发现，这个问题远比想象的要复杂，以至于最后柏拉图并没有成功地用尺规作图来解决这个问题。

柏拉图：这回丢脸丢大了……

于是这个问题被保留了下来，直到1837年，法国数学家万芝尔成功证明：只用尺规作图，根本无法解决“倍立方体”问题。

万芝尔的大致证明过程是这样的：

假设已知的正方体棱长为a，体积为已知正方体的正方体棱长为x，由问题的要求，列式得x^3=2a^3，解出x等于2a^3的三次方根。

由于2的三次方根是无理数，而尺规作图能够作出的线段长度均为有理数，所以“倍立方体”问题无法只用尺规作图解决。

这个证明被数学界普遍认可，可如果抛开尺规作图这个限制，那么要解决“倍立方体”问题其实并不难。柏拉图当时就有这么一个解法：

“倍立方体问题”可以转化为另一个问题：即在a与2a之间，插入x、y两个数，使a、x、y、2a成等比数列。因为a：x=x：y=y：2a，整理后可得：x^3=axy=a（2a^2），也即x^3=2a^3，符合问题的本意。

而柏拉图的解法为：
1. 作互相垂直的线M,线N,交点为P；
2. 在M上取 PC=a，在N上取PD=b=2a；
3. 取二曲尺，使一曲尺通过C点，且顶点在N上，另一曲尺通过D点，且顶点在M上，且二尺的另一边互相密合，如此，便分别在M,N上产生A,B点，则四边形ABCD中的PA（或PB）即为所求。如下图：

后来的数学大家们，如笛卡尔、韦达、牛顿等人，都用自己的方法得到了该问题的答案。

但正如万芝尔证明的那样，在尺规作图的限制内，“倍立方体”依旧是个无解的问题。

Part 2：三等分角问题

Question：在只用直尺和圆规的情况下，将任意给定的一个角三等分。

关于这个问题，其实也有一个小小的故事。

公元前4世纪，在亚历山大城城郊，有一座圆形的城堡，里面住着一位公主。公主的居室正好建立在圆心处。城堡南北围墙各开了一个门，城中的河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。

大概就是这种感觉

国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。

一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。

过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座城堡。小公主提出她的城堡要修的像姐姐的城堡那样，有河，有桥，有南北门。

国王满口答应，小公主的城堡很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？

O是卧室，Q、K、P分别北门、桥和南门

工匠们画出了设计图（如上图），算出只需要三等分∠KOP就能够解决问题。但是他们不知道该怎么用尺规作图来三等分这个角，于是去请教阿基米德。

阿基米德：这么简单的问题还来问我

阿基米德看了看他们的问题，给出了解答：

他在直尺上做了个标记，使得标记和尺头之间的距离等于圆的半径r。

接着阿基米德让标记在圆上滑动，使尺头落在∠KOP的延长线上，并且让直尺通过角的终边与圆O的交点上，这样直尺和延长线的角就是∠KOP的三等分角。
（如下图，A为尺头，B为标记）

所有工匠都为阿基米德的智慧所折服，但是阿基米德却说：

“这个确定北门位置的方法固然可行，但只是权宜之计，它是有破绽的。”

因为阿基米德在直尺上做标记的做法，违反了尺规作图的原则。那么，如果真的只用尺规作图，三等分角又能否做出来呢？

答案是：不能。

至于给出证明的人，还是上面提到过的法国数学家万芝尔。

而三等分角不能用尺规作图的理由，跟“倍立方体”问题类似，都是因为尺规作图所能够作出的线段长度只能够为有理数，而三等分角问题涉及到了无理数，这是尺规作图所不能够达到的。

Part 3：化圆为方

Question:在只使用直尺和圆规的情况下，作一个正方形，使其面积等于已知圆的面积。

这个问题的提出，跟古希腊哲学家安纳萨格拉有关。

公元前5世纪，安纳萨戈拉斯因为发现太阳其实是一个“大火球”（在那时候也确实可以这么认为），而并非阿波罗神，被判了“亵渎神灵”的罪名，关入监狱。

在监狱里，安纳萨戈拉斯睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。

最后，安纳萨戈拉斯想到了一个问题：圆月和铁窗，它们的面积会不会是一样大呢？

被好友保释出狱之后，安纳萨戈拉斯将自己的想法公布了出来，引得很多人来研究这个“化圆为方”的问题，其中不乏希波克拉底、安提丰、希皮亚斯这样著名的学者。

希波克拉底，被誉为“医学之父”

安提丰：古希腊哲学家

但遗憾的是，尽管有如此多学者来研究，这个问题在相当长的一段时间里依旧是个“无解之问”，直到一位文艺复兴时期的天才出现。

这位天才，就是达芬奇。

然而天才总是不拘一格的……达芬奇给出的解法，是这样的：

用一个以已知圆为底，高度为已知圆的半径的一半的圆柱体，在平面上滚动一周，所的出来的矩形的面积即为：S=2πr·1/2r=πr^2，然后将这个矩形化为等面积的正方形即可。（如下图）

很显然，这个方法很巧妙，同时……也违反了问题原本的要求。

那么，这个问题到底有没有真正的解法呢？

跟前面两个问题一样，希腊人捣鼓出来的这个“化圆为方”的问题，在尺规作图的限制下，依旧……无解。

但是这并不能怪希腊人，因为到了1882年，德国数学家林德曼，才证明圆周率π是一个“超越数”。而同样在19世纪，有人证明了如果设任意给定长度单位，则标尺可作的线段段长必为“代数数”。

代数数指能满足整系数代数方程的数，而超越数则是不能满足整系数代数方程的数。如2的平方根是代数数，因为它满足方程x^2-2=0；而π则是超越数。

化圆为方的本质是用尺规作图的方法做出长度为π的平方根的线段，由上面给出的信息可知，根本不可能用标尺做出长度为π的平方根的线段，所以此题无解。

看到这里，有模友可能会说：

希腊人捣鼓的都是什么东西啊？一个个都是根本没有解的问题，有意义么？

其实，即便无解，这三个问题的存在依旧很有意义。先不说为了解决倍立方问题，数学家发现了诸如蔓叶线等一系列的特殊圆锥曲线，就说最后的化圆为方问题，安提丰所提出的“穷竭法”，是近代数学重要概念极限的雏形。

蔓叶线

问题的无解并不重要，重要的是人们在解决问题的时候，会发现很多以前从来没有见过的知识，这些知识是数学发展的动力。而作为促进发现这些知识的问题，则是数学的真正生命力所在。

可以这么说，如果哪一天，数学不能够再提出新的问题，那这门学科就已经走到尽头了。当我们怀着这样的心情来看数学界中种种不可思议的谜题时，是不是突然觉得：

数学这门学科还真难！