陈老师教你算式运算——不同二项式连乘展开式

摘要：仿照二项式定理，探究不同二项式连乘展开式，初步描述不同二项式连乘展开式的表达形式、通项、项数。

关键词：通项；连乘；二项式展开式；

二项式定理研究的是同一个二项式(a+b)n连乘的展开式，是前项a、后项b不变的相同的二项式；在相关研究中，存在前项不同也可能后项不同或者前后项都在变化的二项式连乘问题，现将n个不同二项式连乘展开的表现形式、有关通项及项数问题分述如下。

一、连乘二项式的分类

1.二项式：只含有两个单项运算的多二项式；如（ab+cd）、(a-b)等，其中ab、a分别为上述两个二项式的前项，cd、b为后项。

2.连乘二项式的分类： ⑴连乘相同二项式：如(a+b)n是同一个二项多项式的n次方，是前后项不发生变化的相同二项式连乘；⑵连乘不同二项式：连乘二项式前、后项中有一项变化或两项都变化的二项式叫做不同二项式；如()()()......()只有后项不同的二项式连乘的问题；(a1-b1) (a2-b2) (a3-b3)...... (an-bn)前后项都不相同的二项式连乘的问题；⑶ 不同二项式连乘的表现形式：(a1-b1) (a2-b2) (a3-b3)...... (an-bn) =，为便于描述通项及连乘表达式的统一，用*表示连乘、(n)表示连乘个数、v表示项的序号，(a1-b1) (a2-b2) (a3-b3)...... (an-bn) ==(av-bv)*(n)，(av-bv)*(n) 表示n个前项不相同、后项也不相同的连乘二项式。

二、连乘二项式展开式

1.二项式定理[1]：

(a+b)n=，⑴是展开式组合项①an-kbk合并同类项后的系数，表示有个相同组合项an-kbk连加；⑵每一类相同组合项经合并同类项得到第k+1项通项T=；⑶各相同组合项的系数和，是二项展开式全部组合项的项数。

2.不同二项式连乘展开：(av+bv)*(n)=a1a2a3.......an+（a2a3...... an b1+ a1a3......an b2+ a1a2......an b3+......+ a1a2......an-1 bn）+（a3a4......an b1b2+ a2a4......anb1b3+ a2a3......anb1b4+......+ a2a3......an-1b1bn+ a1a4......anb2b3+ a1a3......an b2b4+......+ a1a3......an-1 b2bn+......+ a1a2......an-2 bn-1bn）+（ a4a5......anb1b2b3+ a3a5......an b3b4bn+a3a4......an b3b5bn+......+ a1a3......an-3 bn-2bn-1bn+......+......+......+b1b2b3......bn=av*(n)++++............+。⑴n个不同二项式连乘的每一组合项av*(n-k)bv* (k)，虽有不同的前项与后项连乘，但任意组合项前后项连乘的因数个数和都是n个；在后项连乘个数（k）选定后，前项连乘的个数（n-k）同时确定，即在n个不同二项式中选择（n-k）个不同的前项、选择（k）个不同的后项连乘(k=0,1,2,3,......)；不同二项式展开的每一项，对应着前后项连乘的一种组合，即组合项av*(n-k)bv* (k)； ⑵由于不同二项式的各个前项不同或者各个后项不同，因此各个组合项的连乘积不同，具有同类组合项② av*(n-k)bv*(k)的各项不能合并同类项，只能连续相加，因此同一类组合项连加的项数为，因此展开式中第k+1类组合项是个同类组合项av*(n-k)bv*(k)之和，则不同二项式同类组合项的通式；⑶不同二项式的连乘展开式数学表达式 (av+bv)*(n) =av* (n)+ +

++......++......+；⑷不同二项式各同类组合项的项数依次为；不同二项式连乘展开式的项数总和。

3.相同二项式与不同二项式连乘展开式的区别与联系：区别：⑴相同二项式连乘展开式中，存在相同组合项，合并得到相同组合项的系数；不同二项式没有相同组合项，只有同类组合项，连加得到同类组合项的项数；⑵相同二项式展开第k+1类组合项的通式Tx=(其中n-k、k分别是前项a、后项b的乘方次数)，不同二项式展开第k+1类组合项的通式Tb=,它是个同类组合项的连加，[*表示连乘、(n-k)、(k)分别表示是不同二项式前项、后项连乘的个数]；⑶相同二项式连乘展开表达式(a+b)n =，不同二项式连乘展开式(av+bv)*(n) =av* (n) ++++......

......+。联系：⑴相同二项式是不同二项式的特例，展开式符合不同二项式展开的表现形式；⑵相同二项式的乘方次数与不同二项式连乘的个数相同时，相同二项式连乘展开相同组合项合并后的第k+1项系数，等于不同二项式连乘展开同类组合项连加后的第k+1项的连加个数；⑶当n=(n)时，相同二项式连乘展开式各组合项总项数与不同二项连乘展开式各同类组合项的总项数相等都是。

4.不同二项式连乘展开式的公式化与系统性：n个不同二项式连乘，其展开表达式、各类组合项通式是依据连乘个数n而固定的，组合项的类别数、同类组合项的项数是依据连乘个数n不变的公式化模式。n个不同二项式连乘展开，表现出一个完整的运算系统，展开式的每一项、每一同类组合项的和构成运算系统中的每一个具体要素，各要素相互关联、每一个要素都有特定的含义、都占有一定位置、都起到一定作用；各项要素完整组合成为一个统一的整体，表达出具有整体性的特别的涵义。

如av*(n) -+-+......

-.....+...... (-1)n=(av-bv)*(n)；每一组二项式的连乘，组合项的类别、各组合项的项数、组合项的通式是一定的，组合项类别的增加或者同类组合项的缺少，不可能组成完整的(av-bv)*(n) 展开系统。

三、根据不同二项式连乘展开式解决问题

1.求证：1-（++++......）+（+++......+

++......++......+......+......）-（++

......++......+ +......++......

+......）+（+......+......+......+......

+......）-......+永远大于0。

证明：1-（++++......）+（+++......++

+......++......+......+......）-（++

......++......+ +......++......

+......）+（+......+......+......+......

+......）-......+=1-+

-+............=......=＞0

2. 写出不同二项式连乘展开的表达式：

=......=1 -+

-+............=1-（++++......）+（+

++......+++......++......+......+......）-（++......++......++......

++......+......）+（+......+......+

......+......+...... ）-......+。

若S＞2，＞＞0；＞＞0。

讨论不同二项式、连乘展开式，满足数学运算中的不同需要，为通过数学运算证明，素数的无穷分布、任意大偶数存在素数对起到关键性作用。

注释：

①组合项：二项展开式中的每一项，对应着二项式前后项的一种组合，称为组合项。

②同类组合项：不同二项式展开项中，前项个数相同的或者后项个数相同的组合项称为同类组合项。

参考文献：

⑴高中数学课本 选修2-3 人教版 A版34-36页。

⑵高中数学课本 选修2-3 人教版 A版27页。