趣谈自然常数e及怎样高效地计算e值到1000位以上

e，和圆周率π一样，是数学中一个重要的常数。

它的其中一个定义是这样的：

其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。

融合e，π的最完美的欧拉公式

也备受数学家们的推崇，它是超越数e的数学价值的最高体现。

但这个定义公式若用来计算e则因收敛太慢且因为涉及小数的高次幂容易产生误差。

我们在用Excel试算时也证明了这一点。如下表：

人们在研究微积分时发现公式：

由此就可根据上式求解出e的具体数值。

以下我们用Excel来试算。以下是演算结果：

从表中我们看出，这个公式计算收敛很快，才计算13项就已经得出小数点后9位的准确数值。

那么如果要计算e的更多位数的准确数值，怎么计算呢？

比如我们要求e的小数点后1000位的准确数值该怎么算？

其实很简单，多算几项呗，计算到某项为0即可停止，然后把各项相加就可以了。

以下这段简洁高效的Delph源程序可以用来计算e值精确到小数点后1000位。

其中使用到了高精度运算的一些技巧，值得观摩。

用Delphi新建一个工程，在Form1上放一个Memo1和一个Button1, 在Button1 的 OnClick 事件写：

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

const

nSize: integer=1002;

deNum: integer=1000;

var

x,z: array[0..1002] of byte;

i,b,c,d,Run,Cnt: integer;

s: String;

t0: TDateTime;

t: double;

begin

t0 := Now();

b:=1; Run:=1; Cnt:=0;

for i:=0 to nSize do begin

x[i]:=0; z[i]:=0;

end;

x[1]:=1; z[1]:=1;

while (Run>0) and (Cnt<100000000) do

begin

//z:=z/b;

d := 0;

for i:=0 to nSize-1 do

begin

c := z[i]+d*10;

z[i] := c div b;

d := c mod b;

end;

//x:=x+z;

Run := 0;

for i:=nSize-1 downto 0 do

begin

c := x[i] + z[i];

x[i] := c mod 10;

x[i-1] := x[i-1]+ c div 10;

Run :=Run or z[i];

end;

b:=b+1;

Cnt:=Cnt+1;

end;

t := 86400.0*(Now()-t0);

s:=Format('计算次数：%d次'#13#10+'计算时间：%.3f秒'#13#10,[Cnt,t])

+Format('e=%d%d.'#13#10, [x[0],x[1]]);

for i:=0 to deNum-1 do

begin

if (i>0) and ((i mod 100)=0) then s := s+#13#10;

s := s+ inttostr(x[i+2]);

end;

Memo1.Text := s;

end;

编译运行再点按钮Button1，稍侯即可在Memo1显示计算结果。

有兴趣者不妨一试。

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