特级教师：小学数学中最易混淆的15条基础概念

鱼哥/整理

纵观小学数学教育，老师发现很多学生数学成绩不好，并不是因为这些学生不够聪明，很大一个原因是对基础知识点没有得到清晰的理解，混淆了概念，就真的“一步错步步错”。

总而言之，不论是哪一门功课，打好结实的基础总是没错的。下面一起来看看特级教师总结的小学数学中，最容易混淆的15条知识点吧！

1、最小的数是【0】还是【1】？

这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：

通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。

例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。

再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。

于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。

【0】不是最小的一位数。

2 、为什么【0】也是自然数？

课标教材对“【0】也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。

于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为【0】不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。

从教学实践层面来说，将【0】规定为“自然数”也有着积极的现实意义。

2.1 【0】作为自然数的好处

众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。

有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。

无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。

但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。

如果不把【0】作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了；如果把【0】作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。

于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把【0】作为自然数的好处。

2.2 把【0】作为自然数，不会影响自然数的“运算功能”

【0】加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持。

如：新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。

所以，【0】加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。

3 、什么是有效数字、无效数字？

有效数字：

对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。

一般来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字起，到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。

如：近似数0．００３０９有三个有效数字，它们分别为：３、０、９；又或是０．５２０，它也有三个有效数字为５、２、０。

其中０．００３０９中左边的三个零和０．５２０中左边的一个零，则叫做“无效数字”。

4、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？

“加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。

例如：加法“２＋３＝５”，其逆算为：“５－２＝３”或“５－３＝２”。故此，加法的逆运算只有减法；

减法“５－２＝３”，其逆算有“５－３＝２”，“２＋３＝５”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。

综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。

5、为什么不写倍？

在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多学生会自然提出这样的疑问，如：“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？”。其实这是不正确的，可是为什么“12÷3＝4”的后面不写“倍”呢？

我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识），但同时又该对学生说明“在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称”。

如：12只的“只”；8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，“倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。

例如：上面的计算结果“4”，表示12里面有4个3，就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。

所以，在算式里不写“倍”，以免“倍”与单位名称发生混淆。

6、倍和倍数的区别？

在第一学段我们学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”。在第二学段，我们又学习到了“倍数”这个概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？

“倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。

例如：男生有10人，女生有30人，因为“10×3=30”或者“30÷10=3”，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。勿宁说，“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。

“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。

例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，“倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。

所以从这个角度来说，“倍”的涵义应宽泛于“倍数”，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。

7 、时和小时有什么不同？分别如何使用？

首先应该明确的是，〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、〔小〕时、分作为辅助单位。

（注：〔〕里的字，在不致混淆的情况下，可以省略）。

这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、〔小〕时、分、秒。

由此，“时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，

现行教材作了如下处理：

7.1 当列式计算出时间时，在得数的括号里要写上时间的单位“时”

例如：超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略“小”字）

7.2 用语言表述时间的长短时，为避免“时间”和“时刻”产生混淆，则用小时来代替

例如：超市营业时间12小时。

7.3 用语言表述时刻时，一律不得出现“小时”字样

例如：公园每天早上7时30分开园（而非7小时30分）。

8、改写和省略一样吗？

从形式上看，此例将“改写”与“省略”两种对数的变化置于了同一个要求之下（即改写成用“亿”作单位的数）。我们真希望编者不是有意而为之，因为“改写”与“省略”其本质是完全不同的。

8.1 目的不同

“改写”的目的是方便对大数的读写；

“省略”则是取数的近似值。

8.2 方法不同

此处的“改写”是去掉“亿”位后面的0，再写上一个“亿”字，而“省略”除了要找准“亿”位，还要考虑被省略的尾数的最高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。

8.3 符号不同

此处的“改写”是去掉“亿”位后面的0，再写上一个“亿”字，而“省略”除了要找准“亿”位，还要考虑被省略的尾数的最高位是几，然后用四舍五入法求出近似数。

“改写”只改变了数的表现形式，大小并未改变，所以用“=”号连接；而“省略”既改变了数的形式，又改变的数的大小，所以用“≈”连接。

9、路程=距离？

这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。

“路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而“距离”则指连接两个地点而成的直线段的长度。

“路程”所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。

一般情况下，两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。

虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开”极限”寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。

10、最大的分数是1/2，还是1/1？

先看看分数单位的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。

显然，在分数意义中，关键是“分”，没有“分”，就没有“份”。

因为把单位“1”平均分成的最少份数是2份（如果是1份，也就无所谓“分”），由此得到的分数单位是1/2，所以1/2是最大的分数单位。

尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生）。故此，最大的分数单位应以1/2为宜。

11、0/3、0.2/3、3/0.2是分数吗？

分数的定义明确告诉我们：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数,叫分数。其中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。

由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。

进而，在考查学生对“分数”涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如“分数都大于0”等命题的真与假陷入尴尬。

12、比6多1/2的数是61/2还是6+1/2？

要弄清这个问题，先得弄清“6”的性质。

显然，此处的“6”其实质是一个“数”，而非一个“量”。求“比6多1/2的数”应属于“求比一个数多几的数”的范畴，问题中的“多几”都是确定的具体数，这里的“几”既可以是整数，也可以是小数或分数。

所以，这里的“1/2”是指在6的基础上“多1/2”。这个“1/2”数的本身，而非“6的1/2”。

所以，“比6多1/2的数”应该是“6+1/2”。

13、计算出勤率可不可以不乘100%？

先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。

同一课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，这给执教者带来了困惑，到底可不可以不乘100%呢？

老师认为，求“××率”其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。

如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数／应出勤人数，我们说这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的“几分之几”），并不是百分数。

因此，在公式后面乘上“１００％”，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。

因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中，都应乘“１００％”。

14、小于90度的角都是锐角吗？

根据课标教材定义：小于９０度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：０度的角是什么角，也是锐角吗？

事实是，锐角定义有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。

习惯上，我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角；射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角；当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。

由此，严格意义上的锐角定义应是：大于０度而小于９０度的角叫做锐角。

15、足球比赛记分牌上的数字比和数学中的比一样吗？

我们至少可以从两个方面来理解它们的差别，如下：

① 球类比赛中的“３︰２”表示的是比赛双方的得分情况，是“差”比，即表示相差关系。

一方得３分，另一方得２分，双方相差１分；数学中的“３︰２”表示的是“３÷２”，是“倍”比，商为１.5。有鉴于此，球类比赛中的“比”（比分），其后数可以为０的，而数学中的“比”，其后数（除数）是不可以为０的。

② 数学中的“比”是可以化简的。

如“４︰２＝２︰１”。但同样的“４︰２”放在球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。