测天绘地丨GPS知多少？关于卫星的无摄运动的那些事

前言：大家都知道，现在韩国思密达部署“萨德系统”这件事愈演愈烈，虽然“萨德”对我国的威胁不小，但是它要发挥作用，也离不开GPS的导航和定位。所以今天依然为大家介绍有关GPS的干货——卫星的“无摄运动”。
正所谓知己知彼，摸透了GPS，我们要反制“萨德”，不就更容易了吗？毕竟我们种花家的“北斗”也很强大了，到时候来一波“东风”的导弹雨，不管天上地下，“萨德”也就一个摆设而已了。

▲“东风快递，使命必达”

前期提到，只考虑地球质心引力作用的卫星运动，称为“卫星的无摄运动”。这期的内容就是这个“无摄运动”。

在研究卫星的无摄运动中，将地球和卫星看做是两个质点，然后作为“二体问题”来研究两个质点在万有引力作用下的运动。

▲卫星S围绕地球质心O的运动关系图

一、卫星运动的轨道参数

由开普勒定律可知，卫星运行的轨道是通过地心平面上的椭圆，且椭圆的一个焦点与地心重合。

确定椭圆形状和大小，就需要两个参数，即椭圆的长半径a及其偏心率e（或是椭圆的短半径b）。

另外，为了确定任意时刻卫星在轨道上的位置，需要一个参数，可以取真近点角V（在轨道平面上卫星与近地点之间的地心角距）。

参数a、e和V，可以唯一地确定了卫星轨道的形状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位置。但是，这时卫星的轨道平面与地球体的相对位置和方向还不能确定下来。

根据开普勒第一定律，轨道椭圆的一个焦点与地球的质心相重合，所以，为了确定这个椭圆在天球坐标系中的方向，还需要三个参数——Ω、i、ω。

卫星的无摄运动，一般可以通过一组适宜的参数来描述，但是，这组参数的选择并不是唯一的。上面提到的那些参数，可以组成一组应用广泛的参数（a，e，V，Ω，i，ω），被称为开普勒轨道参数，或称为轨道根数。

二、“二体问题”的运动方程

研究卫星S绕地球O的运动，主要的是研究卫星运动状态随时间的变化规律。根据物理学中的牛顿定律，可以很方便地得到“二体问题”的卫星运动方程。

从（3-7）式，我们可以看出，在“二体问题”情况下，给定了六个轨道参数，就可以确定任意时刻t的卫星位置以及卫星的运动速度。

三、“二体问题”的微分方程的解

“二体问题”的微分方程的解是与轨道参数有关的卫星运动的状态方程，也就是说，它是卫星位置、速度与轨道参数和时间的关系式。

1、卫星运动的轨道平面方程

2、卫星运动的轨道方程

至此，已导出了五个积分常数（i，Ω，a，e，ω）。轨道方程中的θ或V是与时间t有关的变量。要确定第六个积分常数，还需要进行一些变换。

3、用偏近点角E代替真近点角V

可以看出，偏近点角E也是一个与时间有关的辅助参数。

4、开普勒方程

卫星绕地球质心运行的轨道是一个椭圆，并且卫星至地心的向径所扫过的面积的速度保持不变，这就表明，卫星在不同位置的角速度是不同的，在近地点处的角速度最大，而在远地点的角速度则最小。

设卫星沿椭圆运动的周期为T，则平均角速度为：

n=2π/T （3-15式）

至此，我们得到了以轨道参数表示的六个积分常数（i，Ω，a，e，ω，τ）。

如果已知这六个轨道参数，那么我们就可以唯一地确定卫星的运动状态了。也就是说，已知六个轨道参数，可以确定任意时刻的卫星位置还有它的运动速度。

本期的内容就介绍到这里。不对之处，欢迎指正。每天都学一点GPS的干货，用知识武装自己，用套路反制“萨德”~

下期预告：关于GPS卫星的“受摄运动”。