53. 解析延拓的概念

《复变函数论》是数学各专业的一门基础课程，是《数学分析》课程在复变量函数上的自然延伸，主要研究是单变量解析函数。复变函数的理论源于人们对代数方程的求解，经过欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯、高斯等名家的发展，在19世纪开始成为数学研究的主流。在柯西，黎曼，魏尔斯特拉斯，阿贝尔等名家的工作之后，复变函数论成为一门独立的学科，主要内容包括积分理论，级数理论和几何理论。进入二十世纪后，复变函数论又有了很大的进展，彭加勒、阿达玛、奈望林奈、阿尔福斯等作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，如值分布理论、复动力系统等。本课程是一门在理论上和应用中都十分重要的课程。一方面，复变函数理论是数学专业多门后继课程，如泛函分析，概率论、偏微分方程，调和分析，代数几何，复几何等的基础；同时复变函数的研究还促进了其它数学学科的发展，如黎曼面对拓扑学的研究，模型式对数论和表示论的研究；另一方面，复变函数的理论被广泛用于其他学科，如量子力学、电磁场与电磁波、流体力学、空气动力学、弹性理论、信号处理、控制论等，事实上，复变函数论本身就源于许多实际问题，如力学，电磁学，如著名的柯西积分定理源于柯西对水波问题的研究；共形映射的许多理论源于茹柯夫斯基对飞机机翼的结构研究。