29. 映射与反演 - 3

《数学解题研究》课程，站在数学方法论的视角释义数学解题研究需要清楚回答的内涵、外延以及研究方法等基本的问题。具体地说，主要包括以下三个方面内容：○ 思路透析：从数学方法论的视角认识解题。本课程所指向的解题研究就是通过典型数学问题的分析讲解，引领解题者学会像数学家那样“数学地思维”，探案解题思路，发展解题思维，提高解题能力。◎ 揭示规律：确立数学解题研究的目标指向。本课程的重心不在于解题理论的构建，而是力求从数学方法论的视角把握数学解题规律，多维度引领解题方向，促进解题者的思维发展及分析、解决问题能力的提高。● 择法引领：科学地设计数学解题研究思路。本课程以数学方法论作为立意基础，注重数学方法对数学解题的理论指导；以具体问题的解决为抓手，突出解题过程的引领。基于数学方法论的视角，拟定数学解题的基本策略路线图如下图所示：面对一个问题，首先是观察，然后考虑化归，把待求解问题转化为已解决的或较容易解决的问题；感觉不明的问题可以考虑运用类比法探寻熟悉的解题模式或方法以化解问题难度；解题中的直觉因素是必须关注的，它可能会在难题求解过程中发挥重要作用；构造是实现数学问题解决的一个捷径，虽然不是每一个问题解决都需要构造；建模是对构造法解题的升级，建模法解题涵盖的内容更为丰富，解决问题的面更为宽广；审美法对于解题来说，是蹊径另辟，是寻找解题方法的一个重要补充；对于费时费力的疑难问题，要想办法进行多途径变通；最后是解题反思，提出分析错误、总结方法、拓展延伸等，对于解题来说并非无足轻重，它能帮助我们有效地掌握数学本质，发展思维，提高能力。上述解题策略与方法彼此间不是孤立的。观察伴随在解题的始终，化归也一直主导着解题全过程。类比为着促成化归，常常源于观察而发生，源于直觉而显现。构造是一种高级思维模式，需要综合运用类比或化归。建模类似于构造，同样依赖于对问题的观察与审美，依赖于化归思想，依赖于类比、直觉等方法。审美的产生，看似直觉，实质上与细致入微的观察有着紧密的关联，审美意识经常促成类比、构造、建模等解题方法的形成，也为解题化归的实现奠定基础。变通的前提是对问题有比较深刻的观察与理解，它是融直觉、审美、类比等思想方法于一体的结果，反过来又指向于合适的类比、创造性的构造与建模以及巧妙的化归。而问题的解决不是最终的，对解题策略以及解题过程的深入反思，能够指导我们进一步学会观察，更深刻地理解和掌握化归、类比、构造、变通等解题策略与方法，更有效地发展数学思维，提高解题能力。