15. 傅里叶级数的一致收敛、微分和积分 - 1

       在这门课中，我们将学习掌握四块内容：傅里叶级数、含参积分、曲线积分与曲面积分。       1807 年，法国数学家傅里叶在求解热传导方程时发现，解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出，函数可以展开成三角函数的无穷级数，这就是傅里叶级数。傅里叶级数在声学、光学、热力学、电气工程和量化分析等学科领域有非常广泛的应用，因为要研究周期性的运动就必须使用傅里叶级数。这部分内容是本课程的第一章。如果积分中带有了可以变化的参量，就成了含参量积分，其本质是一个函数，如何分析这类函数随着参量变化而变化的性质呢？这是课程第二章的内容。其中一类含参积分——欧拉积分，可极大简便积分运算，被大量运用于概率论与数理统计及分数阶微积分中。欧氏几何解决了平直、规则几何形体的面积和体积计算问题。但是，随着科技的发展，人们发现世界万物几乎没有平直的。人们不得不去处理曲边的平面图形、曲顶的立体，如圆、如球。那么，数学家们是如何克难的呢？以直代曲！也就是通过分割和近似等手段，把弯曲的微元用平直的替代。定积分如是，重积分亦如是，甚至还直接把积分定义到曲线和曲面上，建立曲线积分和曲面积分理论。到 20 世纪初，格拉斯曼，庞加莱和嘉当等人发展了外微分形式语言，把微分和积分这一对矛盾统一在斯托克斯型公式中，牛顿和莱布尼兹的微积分基本公式达到了空前的统一，近代数学在此基础上繁荣发展起来。这是课程第三章和第四章的内容。     《高阶数学分析及其应用》正是学习这些数学分析系列课程中相较复杂艰深，却有更多应用与理论实践的知识。       课程旨在培养学生严格的逻辑思维，让学生学习到优秀的数学思想，从而提高学生的理性思维素养，加强基础知识、基本理论、基本技能训练及培养学生独立思考能力。