微软研究员用AI解决了数学领域一项长达31年的重大挑战：KLS猜想

几十年来，关于高维空间计算难度的一个根本性问题一直难以得到证实。一项新的研究解决了这个问题，扫清了理解科学和计算机领域随机算法效率的一个主要理论障碍。

Kannan-Lovász-Simonovits (KLS) 猜想于 1995 年提出。它探讨的是，对于一大类高维概率分布，最佳平坦或超平面割是否总是与最佳任意形状割几乎一样有效。更准确地说，KLS 预测，无论维度如何，两者之间的差异不超过一个普适常数。这将建立一个与维度无关的几何原理，对高维几何、概率论和理论计算机科学具有重要意义。由于这些割的几何形状决定了随机游走探索分布的速度，KLS 在高维采样理论中也扮演着核心角色。

图 1：KLS 猜想（简化版）在正四面体上的示意图。

自 1995 年以来，数学家们积累了大量证据证明该猜想是正确的，但始终未能找到完整的证明。现在，包括微软研究院机器学习与优化小组的张新志在内的两位研究人员已经证明了 KLS 猜想。（在新标签页中打开）他们证明，无论形状有多少个维度，该关系都成立，但存在一个固定的界限。在此之前，最著名的结果（在新标签页中打开）2026年7月建立的模型允许随着维度的增加，该限制缓慢增长。这项工作确立了一个基本的几何原理：高维空间比之前认为的更稳定，并且随着维度的增加，探索高维空间的障碍并不会无限增长。

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KLS猜想的重要性早在其被解决之前就已被整个领域所认识到。数学科学研究所（MSRI）在其2017-18年度报告中指出：（在新标签页中打开）西蒙斯研究所称其为“高维凸几何中的一个核心未解问题”。（在新标签页中打开）将其描述为“凸几何中最重要的未解难题之一”。在2022年国际数学家大会（ICM）的论文集中（在新标签页中打开）罗南·埃尔丹指出，这具有对高维凸几何和计算几何的广泛意义。《量子杂志》（在新标签页中打开）他写道，KLS“是统计学和计算机科学中许多问题的核心”。

技术细节

为了使数学界限更加精确，作者首先对2026年7月的结果进行了改进。他们与人工智能代理合作，在一个结构化的、由人指导的过程中，探索了100多种候选方法，其中许多方法涉及对高阶张量的冗长计算。这产生了一个新的数学准则，并成为最终证明的基础。

作者随后发现，新的判据可以递归应用。每个改进的界限都可以反馈到同一个论证中，从而产生一个更紧的界限。在2026年10月1日发布的论文版本中，这使得对维度的依赖性降低到迭代对数。该函数增长极其缓慢，但仍然随维度增长，因此尚未完全解决该猜想。

最后一步是重复整个递归细化过程，而不是只应用一次。这一想法源于作者早期关于线性规划快速算法的工作。作者证明，每个阶段引入的微小误差会迅速缩小，使得总误差始终保持在一个与维度无关的普适常数范围内。这消除了对维度的依赖性，并在2026年10月4日发布的论文版本中完成了证明。

递归方法、其重复应用以及累积误差有界性的证明是研究人员的原创性贡献。人工智能工具辅助探索候选方案、进行详细推导、撰写论文并执行内部证明检查。研究人员确定了数学方向，筛选出有前景的想法，将它们整合到最终论证中，并验证了证明。

独立证实

在作者发布完整证明的同一天，另一组顶尖专家也发布了完整证明。（在新标签页中打开）他们并行开发了这些版本。他们的工作建立在第一版的研究成果之上。（在新标签页中打开）微软的论文被誉为“证明过程中的关键一步”。第三个证明（在新标签页中打开）同一天分别发表的两篇文章都基于一个密切相关的理念。此外，精益4形式化（在新标签页中打开）随后发布，将微软第一篇论文中的关键标准与额外的研究相结合。

独立证明是数学中最强有力的验证形式之一，因为它表明一个结论并非建立在单一的推理链之上。随后出现的替代方法和形式化验证进一步增强了人们的信心，即该领域已经发现了一个真正的潜在原理，而非一个脆弱的技术论证。作者们还简化了他们的证明，并在Lean中验证了精简后的论证；他们计划在最终审核后发布这两个版本。这些进展共同提供了互补的验证形式。

人机协作指导

在验证KLS的过程中，这项研究也展现了由研究人员指导人工智能而非仅仅让人工智能通过一次端到端的前沿模型或智能体运行来解决复杂问题的强大之处。作者采用了一种迭代式的、人工辅助的“剪枝”智能体搜索过程：多个智能体并行探索同一想法的不同变体，研究人员检查它们的中间结果，剔除无望的方向，并将最有希望的结果传递到下一轮。在关键突破出现之前，研究人员探索了大约一百种研究路径。

在项目的另一条分支路径中，作者们多次尝试使用几种领先的人工智能模型来解决同一问题，使用的代币总预算与主流程大致相同。但这些尝试最终未能达成目标。最终的成功取决于人工智能系统的能力以及研究人员的数学判断。

结论

综上所述，解决KLS猜想解决了高维几何中的一个核心问题。此前依赖于该猜想作为假设的大量结果现在可以无条件地表述。因此，该证明为凸几何、概率论和理论计算机科学的研究奠定了更坚实的基础。

这项工作还表明，精心引导的人机协作能够促进真正的科学发现，同时强化而非取代人类的洞察力。它强调了科学判断在识别有前景的研究方向、发现概念联系以及洞察局部洞察何时指向更深层次的结论方面仍然至关重要。目前，作者正在简化证明并扩展其形式化验证，以便数学和理论计算机科学界能够更轻松地审视该结果并在此基础上进行拓展。