这位数学家喜欢“视觉化”思维方式……

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导读

9月10日，2026年世界顶尖科学家奖获奖“智能科学或数学奖”名单在上海公布，比利时裔数学家、物理学家英格丽·多贝希（Ingrid Daubechies）因在应用调和分析、小波理论和图像压缩领域的重大贡献获该奖。

多贝希在小波研究中完成的开创性工作，变革了数字图像与信号处理的数学基础，其应用涵盖图像压缩、通信、医学成像及其他数据密集型技术。多贝希的数学思想对当今快速演进的数据科学、计算与人工智能领域持续产生影响。

在此之前，她已收获沃尔夫数学奖和美国国家科学奖，还曾于2011年至2014年间担任国际数学联盟的（首位女性）主席。

2018年末，多贝希教授曾接受长期追踪数学界进展的媒体人艾琳·杰克逊（Allyn Jackson）专访，与之深度探讨小波理论的发展历程，也讲述了自己与几位合作者共同追寻未知边界的往事。（本文编译了部分访谈内容。）

英格丽·多贝希荣获2026年世界顶尖科学家奖“智能科学或数学奖”。10月30日至11月1日，她将赴沪参加世界顶尖科学家论坛，并出席同期举办的颁奖典礼

Q：在1984年，也就是小波变换（wavelet transforms）理论诞生之年，您仍从事着数学物理方面的工作。

A：

没错，不过那时我已开始与数学物理学家亚历克斯·格罗斯曼（Alex Grossmann）合作研究小波了。应用方向虽是信号分析而非物理学问题，但所用的数学工具与我们老本行的相似。鉴于此，我们的专业转变算是一种“无缝切换”了。

Q：您最初是怎么接触到小波研究的？

A：

有一次，格罗斯曼跟我讲述了他与地球物理学家让·莫雷（Jean Morlet）合作开展的研究。我觉得那些工作很有趣，而且有一系列有趣问题就摆在眼前。

当时我们潜意识里觉得，小波不会有理想的正交基；因为对于加窗傅里叶变换，数学上已经证明它不存在性质良好的正交基。

于是，我们建立起一个框架，使基于小波的计算得以轻松开展。我们所用的向量族并非正交基，也不是线性无关的——我们称之为“无痛非正交展开”（painless nonorthogonal expansions）。

Q：有一篇论文的标题就叫《无痛非正交展开》？

A：

是的。那篇文章的作者有三人，除了格罗斯曼和我，还有法国数学家伊夫·梅耶（Yves Meyer）。格罗斯曼说论文中一些想法源自他与梅耶的对话。（伊夫·梅耶是小波理论的先驱之一，提出了梅耶小波理论，于2017年获得阿贝尔奖。）

Q：后来您确实找到了小波的规范正交基。

A：

伊夫·梅耶试图证明：对小波而言，规范正交基不可能存在。

他先推导出了一大堆“若存在规范正交基就必须满足的条件”，结果，最后还真找到了满足所有这些条件的“奇迹般的相消”——积分中正负贡献恰好精确抵消，从而使正交性条件成立。

至于为何会出现奇迹相消，随着同为法国人的斯特凡·马拉特（Stéphane Mallat）与梅耶一起发展出多分辨率分析（multiresolution analysis）框架，学界获得了全新的阐释视角。多分辨率分析由一组嵌套逼近空间构成：当从某一级逼近空间过渡至下一级时，便可提取两级之间的差异信息。

这套结构解释了所有奇迹般的相消现象。但其中隐含一个假设：只有放弃光滑性，才能得到性质优良的有限支撑基；若想要光滑性，就得使用无限支撑的基。的确，若从样条逼近空间出发，基必然是无限支撑的，这意味着你必须做截断，事情因此变得很繁琐。

我对此的想法是，既要有限支撑基，又要光滑性，不要无限支撑，不要做截断。我花费了数月的艰苦努力来证明自己的想法可以实现。

Q：您最后是如何解决问题、达成目标的？

A：

计算机视觉领域已有人在研究这样一类滤波器：逐级进行插值和细化，而滤波器系数是有限的。研究者渴望获得光滑性，并通过经验发现某些滤波器效果远好于其他的；随之而来的想法则是，效果拔群的滤波器因何特别？光滑性从何而来？如何证明你得到了理想的光滑性？

针对这些问题，我展开了探索。与此同时，多分辨率分析出现了，我看得出其中也有类似机制发挥作用。于是，我设计了一个能借助有限滤波器带来光滑性的工具；但我当时还不知道，它会与函数空间的、解析的框架相对应。

或许我能构造出滤波器，但它们在函数空间上的意义是什么呢？我彻底转换思路，不再以基为起点进而由基导出滤波器，而是说“我想要这些滤波器，我希望它们是有限的。那么，它们该满足哪些条件？”

我找到了条件，然后倒推。证明工作花了些时日，但一切都成立。

Q：当小波理论开始发展时，人们意识到纯数学中有许多与小波相呼应的内容。

A：

没错，纯数学里充满小波的“回响”。

事实上，四面八方都传来回响：量子物理中的相干态、引力中的相干态、计算机视觉、电气工程中所谓的正交镜像滤波器。许多不同类别的事物彼此关联。当然，小波也完美衔接了调和分析中的工作。

我认为，如果没有来自其他学科的输入，小波领域难以涌现如此壮丽的成果，正因数学物理学家亚历克斯·格罗斯曼找到了一种数学框架去解读让·莫雷的地球物理学工作，且为这种框架建立理论，正因这套理论后来又被证明与其他数学发展相关，我们才得以运用整套工具来证明关于小波的定理。

调和分析学家们原本手握关键定理，却局限于数学的偏僻角落，若无格罗斯曼的努力，不知会有谁来跨界串联、打通其余各领域。

Q：格罗斯曼是重要的架桥者。他是如何做到这一切的？

A：

他认识很多人，比如前面提到的莫雷。莫雷为石油勘探信号处理创造了理论工具，但他不太善于表达，我根本听不懂他的理论。但格罗斯曼能听懂，并把莫雷的思想放进一个框架，使其他人也能理解。

多尺度分析的思想在调和分析中早已有之。格罗斯曼与梅耶讨论过这点，而后者理解老方法里蕴含的新内涵、新洞见。

对于格罗斯曼等人的新成果，学界存在这样一种声音：“他们不过重新发现了我们早就知道的东西。”但正如梅耶所言：“没错，从某种意义上说，他们写下的正是我们早已知晓的东西，但他们用了不同写法，用了不同于我们的方式来解读既有公式。”

在调和分析中，研究者在用不同尺度的函数（核）来做卷积。而从相干态的观点看，你所要做的是，把信号与带有两个标签的构造块做内积，然后用这些同样带有两个标签的系数重构出位置信息的混合体。

因此，在格罗斯曼与莫雷的写法中，那两个标签非常显式；但在调和分析学家的工作方式中，它们被隐藏了——一个参数是尺度，另一个参数则藏于卷积里。

在调和分析里，并没有那种“把东西分解成一个个小构造块、再写出构造块之和”的理念；因此，“要用离散方式去做、并找到规范正交基”的方案不容易被调和分析学家想到。

但后来大家发现，原来在梅耶的工作之前，已有一位调和分析学家，即扬-奥拉夫·斯特伦贝里（Jan-Olav Strömberg），构造出一个规范正交基，只不过当时没引起关注。

Q：在一次访谈中，梅耶说他曾去听斯特伦贝里关于这一主题的报告，但当时正想着别的事情，并未领会斯特伦贝里的观点。

A：

的确，事后看来，他当时就该意识到斯特伦贝里的成果。

Q：1988年，您发表了一篇给出小波规范正交基的论文。那篇文章包含大量通常不出现于数学论文的系数表。

A：

正如我们前面所谈的，小波在许多不同学科中都有回响，包括电气工程；而我是在撰写那篇论文时已经意识到了这点。我希望这些工具能被使用，但我也知道，工程师不愿去读我推导出的数学定理；那有没有可能，当我提供一套为工程师所熟知的系数表后，他们就乐于尝试新理论了？

我坚持要放那些表——不只是给出计算这些表的方法，还给出现成可用的表。我也坚持放那些图。论文极长，期刊不喜欢长文，好在他们最后认同了我的要求。表和图能极大增强论文的影响力。我之所以知道这点，是因为我一直关注工程领域的文献。

Q：可以接触数学之外的学者，是否也是小波研究对您的吸引力之一？

A：

对我而言的确如此。我非常喜欢与不同领域的研究者交流，并找到合适的数学框架来思考他们的问题。当然，解决问题的原则不应是“把别人的问题改造得适配自己的工具”，而应是“从自己的工具库里选出最适配别人问题的数学框架”。

除了信号分析，我现在还研究形状识别领域的问题，那需要用到微分几何。自研究生毕业，我就没碰过微分几何，所以不得不重新学习久远的知识。

已故的意大利裔数学家尤金尼奥·卡拉比（Eugenio Calabi）曾这样形容纯数学家与应用数学家的区别：纯数学家被难题卡住时，会决定稍稍收窄范围，以求摆脱问题；应用数学家面临相似困境时，则会表示“是时候学更多数学知识了”。我觉得卡拉比教授评价应用数学家的部分很对。

Q：关于小波理论的应用，您有特别偏爱的方面吗？有没有某种惊人、美妙、不寻常的应用？

A：

我不知道。如今小波已是非常标准的工具，是十分自然的做事方式，当然，从某种意义上说，只有当你拥有计算工具时，它们才是自然的。

你可以给小波作图，可以推导出它们的许多性质，可以证明关于它们的各种结论，但你得不到它们的闭式公式。当你用计算的方式绘制小波函数图像时，你会在一组稠密格点上进行计算，再把各个点描出来，所得图形接近某个连续函数的图像，所以它是有意义的。但小波本身不是某个微分算子的特征函数，它们是构造特殊函数的另一种方式。

还有其他方式，比如压缩感知（compressed sensing）和字典学习（dictionary learning）。在这些方法里，你要从数据中找出可以利用它们开展计算的方式。如今我们有了深度神经网络，以及它们奇迹般的效用，当然，我们仍在试图理解其中的原理。

Q：您在研究深度神经网络吗？

A：

没错，我一直与罗纳德·德沃尔（Ronald DeVore）合作研究深度神经网络。

Q：人们并不真正清楚深度神经网络的运作机制。您认为，能否发展出一套数学理论来解释其原理？

A：

绝对可以。我认为数学家理应探索事物运行的原理，用数学的方式去解释世界。深度神经网络的原理尚不为人所知，但我想说，当初傅里叶变换刚发展出来时，人们对其原理同样充满疑惑，如今，大家都知道它为何成立。

Q：试想，若深度神经网络被用于决定“是否拒绝向某人提供保险”之类的问题，伦理挑战也将随之而来。您怎么看这类涉及伦理问题的应用？

A：

当你求助他人来帮你做决策时，你会更信任那些已有丰富成功经验的建议者。同理，当你要应用一个网络、用它做重大决定时，必定先对它做详尽、彻底的审查。应用不可轻率，深度神经网络的应用更是要求先有深度的理解。

在人类长期挣扎的某些领域，深度神经网络推动了数量级上的巨变，但它也不是万能灵药，甚至，它仍只是个计算黑箱！计算问题引发“灾难”并非不可能，要知道，早在深度神经网络出现前，人类就见过因计算问题导致的股市崩盘。

Q：您会如何描述自己的数学思维？您是从几何角度还是从分析角度来思考问题的？

A：

我有一种视觉化的思维方式。我喜欢制造视觉隐喻，喜欢把东西来回摆弄或移动事物——不知道那算不算几何思维。

资料来源：

Interview with Ingrid Daubechies