两位中国数学家在天津大学期间完成的关于质量次临界 NLS 散射的长文在顶刊 Memoirs AMS 出版

申佳，现为南开大学数学科学学院助理研究员。2020年在北京大学数学科学学院获得博士学位，导师为王保祥教授；2020年至2024年在天津大学应用数学中心从事博士后研究，合作导师为吴奕飞教授。主要研究方向为非线性色散方程、非线性薛定谔方程与调和分析。

吴奕飞，现为南京师范大学数学科学学院教授。2016年至2024年为天津大学应用数学中心 教授。主要研究非线性色散方程、调和分析与偏微分方程。他与申佳长期合作，已在多篇论文中研究质量次临界与能量临界非线性薛定谔方程的长时间行为。

Memoirs of the American Mathematical Society 正式发表申佳、吴奕飞在天津大学应用数学中心期间完成的论文“Scattering for Defocusing Mass Sub-Critical NLS”。 Memoirs of the AMS 是美国数学会旗下旗舰丛书之一，长期刊发长篇、系统性强且具有重要影响的研究成果。该论文在低于一阶的分数加权空间 中建立了散焦质量次临界非线性薛定谔方程的大初值 散射，突破了长期以来依赖 加权条件的限制；同时引入“窄化”Wiener 随机化，在 初值下证明几乎必然散射，且不依赖小性、径向或加权假设。对于 的质量次临界 NLS，这是首个在无小性、无径向、无加权条件下的一般散射结果。

从无穷远看非线性波：质量次临界薛定谔方程的散射新理论

一、非线性薛定谔方程与散射问题

非线性薛定谔方程是描述波包在非线性介质中演化的基本模型。论文研究的方程可写成

其中 是复值函数， 是时间， 是空间变量， 对应散焦情形， 对应聚焦情形。散焦项倾向于把能量分散开，因此更可能出现长时间后波包彼此分离、线性传播的散射现象。论文关注质量次临界情形，即 ，这里 是空间维数。这个范围之所以叫质量次临界，是因为方程有一个守恒量，质量

在伸缩变换下保持临界性的指数正好是 。当 时，非线性相对较弱，解在 意义下有望长时间存在并最终像自由波一样散开。

所谓散射，是指解在时间趋于正负无穷时，越来越接近一个自由薛定谔方程的解。用公式说，就是存在 ，使得

类似地可以定义 的散射态。波算子则把自由终态映射回非线性方程的初值。散射理论关心的是：哪些初值会导致散射？散射态是否唯一？逆波算子是否连续？这些问题不仅关乎方程本身的长期行为，也关系到非线性与色散之间的竞争。

历史上，Strauss 很早研究了低能量散射，并提出一个关键指数 。当 位于短程临界 与质量临界 之间时，散射是否成立、需要什么初值条件，成为长期课题。若 ，方程属于长程情形，通常不能有普通的 散射，而需要修正散射。因此论文把范围放在 ，这是质量次临界中最有希望产生标准散射的区域。

二、为什么仅有不够

在早期工作中，Tsutsumi 和 Yajima 证明了散焦质量次临界 NLS 在初值属于 时具有 散射。后来 Hayashi 和 Ozawa 把条件改进到 。这里的 是傅里叶变换后的加权空间，直观地说，它要求初值在物理空间中有一定衰减，或者说在频率空间中有一定正则性。为什么需要这种加权条件？一个重要原因是，散射的证明常常依赖伪共形能量。伪共形变换可以把质量次临界问题变成质量超临界终值问题，但变换中会出现一阶向量场 。如果初值只在 中， 未必属于 ，伪共形能量就无法直接使用。

Lee 的结果进一步说明，单纯在 中研究散射有本质困难。他证明逆波算子从 到 不可能具有 Hölder 连续性。这意味着，若只允许 初值，散射映射会非常不稳定，必须引入某种加权或衰减条件。于是问题变成：究竟需要多少阶加权？过去的大初值结果通常要求 ，也就是一阶加权。对于 且 的情形，此前只有小初值散射、条件散射或波算子存在性，大初值散射仍是空白。

论文的第一项主要结果正是在这里取得突破。作者证明，在三维情形 、 时，只要 ，初值满足 ，解就整体存在并在 中散射。更一般地，在若干维数和非线性指数范围内，存在某个 ，只要 ，同样的结论成立。这是首次在 、 的加权空间中建立大初值散射，把传统的一阶加权门槛真正降到了一以下。论文还指出，在部分参数范围内，这个加权阶数甚至低于尺度临界意义下的自然加权，说明结果不是简单插值，而是利用了方程结构。

三、分数加权散射的核心思想

要理解这项结果，需要看作者如何处理伪共形能量失效的问题。他们把解分解为线性部分和非线性部分，令 是自由薛定谔方程的解，令 是非线性余项。线性部分可以显式写出，但不满足一阶加权估计；非线性部分则满足一个带强迫项的方程。作者并不要求整个解的伪共形能量守恒，而是证明非线性部分的伪共形能量“几乎守恒”。这里的“几乎”不是近似随便说说，而是指能量的增量可以被初值的加权范数、时间局部化估计和小参数控制住。

关键工具之一是伪共形变换。这个变换把原方程变成

变换之后，物理空间中的加权条件变成频率空间中的导数条件，一阶向量场 变成普通的梯度 。这样，原本棘手的加权问题转化为如何在缺少一阶导数时闭合能量估计。作者使用高低频分解，把高频部分和低频部分分开处理。高频部分贡献主要导数，低频部分贡献非线性交互。通过双线性 Strichartz 估计，可以把一部分导数从线性部分转移到非线性余项上，从而减少对 的要求。

另一个核心工具是局部相互作用 Morawetz 估计。Morawetz 估计是色散方程中的经典工具，它利用方程中的动量张量和空间权重，给出解在时空中的额外衰减。论文没有直接使用通常的整体估计，而是针对伪共形变换后的方程，在二进时间区间上建立局部版本。这个估计可以控制 和 的 范数，并且能量增加相对较小。虽然它在时间原点附近有奇异性，但作者通过按二进时间区间求和，把奇异性与能量增长分开处理，使得当 接近 时仍能闭合估计。

在三维证明中，作者还根据 接近 还是 选择不同的对偶 Strichartz 估计。接近 时，时间原点附近的奇异性是主要困难，因此使用 型估计，因为它有更好的时间衰减。接近 时，能量随频率参数的增长更突出，因此使用 型估计，并借助相互作用 Morawetz 估计降低能量增长。一般维数情形更加复杂，作者区分 与 ，并针对一维、二维及高维采用不同的 Sobolev 插值和全局时空估计。最终，所有情形都归结为一个改进的 Tsutsumi-Yajima 散射判据，只要证明若干加权时空范数有界，就能得到 散射。

四、随机化：彻底去除加权条件

论文的第二项主要结果走向概率方向。既然确定性 初值需要加权条件，能否通过随机化初值来绕过这一障碍？随机化思想在色散方程中已有成功先例。Bourgain 最早在超临界波方程中引入随机初值，Burq 和 Tzvetkov 发展出随机数据 Cauchy 理论。对于 NLS，Burq 和 Thomann 在一维、Latocca 在高维径向情形证明了几乎必然散射，但他们使用的是基于 Hermite 算子特征基的随机化，并通过透镜变换和准不变测度方法。其初值通常几乎在 中，但并不精确属于 。

本文采用不同的随机化。作者在物理空间中构造一种“窄化”Wiener 随机化。具体说，把空间分成许多大小不同的立方体，在每个立方体上用独立的复高斯随机变量乘以局部截断函数，再求和。随机化后的初值 仍然属于 ，并且对于几乎每个随机样本，它并不获得额外的正则性、加权衰减或 可积性。这一点很重要，因为这说明随机化并非通过增加初值光滑性来解决问题。它真正改善的是线性解的时空估计。利用自由薛定谔方程的色散不等式和伪共形变换与傅里叶变换的关系，作者证明随机线性解在若干 次临界和超临界的时空范数中几乎必然有限。这些估计在确定性 框架下通常不成立。

然后，作者把第一项结果的确定性框架搬到随机情形。令 为随机线性解， 为非线性余项。对于几乎每个 ，初值 和线性解 满足一组随机时空范数有界条件。于是问题化约为一个确定性命题：只要线性部分满足这些范数控制，非线性余项就整体存在并散射。作者再次使用伪共形能量、高低频分解和局部 Morawetz 估计，但此时能量中的小参数由随机估计提供，而不是由加权初值提供。最终得到：当 、 时，对几乎每个随机样本，方程有唯一整体解并在 中散射。对于 的质量次临界 NLS，这是首个不依赖小性、径向对称或加权条件的一般散射结果。

五、意义与展望

这项工作的意义可以从几个层面理解。它把质量次临界 NLS 的大初值 散射从传统的 加权条件推进到 、 ，甚至在某些参数下低于尺度临界加权。这回答了“究竟需要多少阶加权”这一自然问题的一部分，也说明伪共形能量并非只能在一阶加权下使用，而可以通过线性非线性分解和几乎守恒律在更低加权下重建。它还展示了随机化方法的新可能。与准不变测度方法不同，本文的“窄化”Wiener 随机化不改变初值的正则性或衰减性，而是直接增强线性解的时空可积性。这为处理非径向、无衰减、非小初值的色散方程提供了新路径。与此同时，它把 Tsutsumi-Yajima 的确定性散射判据成功适配到概率框架，说明经典调和分析工具在随机设定下仍然有力。

从数学思想上看，论文反复处理三个矛盾：非线性与色散、加权与 、确定性稳定性与随机改进。非线性倾向于集中能量，色散倾向于把波包推开；加权条件提供衰减但限制初值类；随机化则用概率平均换取几乎必然的时空估计。作者没有试图证明逆波算子在 中 Hölder 连续，因为 Lee（李）的结果表明这不可能；相反，他们通过扩大可散射的初值类，在几乎必然意义下建立散射。这种策略既尊重了确定性理论的限制，又利用了随机化的自由度。

未来仍有许多问题。例如，定理中的 并非最优，如何找到最优加权阶数？在 接近 的长程临界区域，是否需要修正散射？随机化能否用于聚焦情形或能量临界方程？这些问题都值得继续探索。总体而言，申佳和吴奕飞的工作为质量次临界非线性薛定谔方程的散射理论提供了新的框架，也把加权空间、伪共形变换、Morawetz 估计和随机化方法更紧密地联系在一起。

来源｜ Memoirs，arXiv: 2310.14688 及网络公开报道

撰文｜數學家编译小组

排版｜司徒

校对｜慧玲

责编 ｜燕北平 ‍