一道源于杂耍的数学猜想，55年后被证明了

一个曾经玩杂耍的人，给数学界留下了一道 55 年没能解开的题。罗纳德·格雷厄姆是美国数学学会的前主席，也是国际杂耍协会的前主席。他在 1971 年提出一个问题，题目是随便一组非零整数，能不能在重新排列它们的前提下，让所有部分和都保持不重复。用杂耍领域的话来说，假如每个球在空中的时间都不一样，那么你总能找到一种抛球顺序，让两个球不会在同一拍掉落下来。

此前，这个问题在有限世界里一直没被证明。而在最近，几位年轻的数学家用四篇论文把它解开了。

先来解释一下这个猜想在说什么：当把整数排在一根数轴上，接着把数轴绕到一个钟面上，数字到某个素数 p 之后就会开始循环。假如 p 是 7，那么 0、7、14 和所有 7 的倍数都等价，意思是你能够把两个正数相加得到零。格雷厄姆提出的问题是：假设从这个循环里挑出一组非零的数，是否能够重新排列它们，让所有部分的和都不一样。

假如数全是正数，答案显然是可以的，原因在于和会越来越大，因此不会重复。假设正负数都有，那么在普通整数世界里，答案也是已知且可以的。而格雷厄姆想知道的是，在钟表算术这种有限的世界里，答案是否还是可以的。

他的猜测是可以，他个人的直觉是，就算规则很死一般也能找到足够的灵活性，从而构造出特殊的结构。就好比数独或者拉丁方阵，虽然规则很多，但是总能找到合法的填法，而这个问题非常契合那些关于设计和对称结构的问题。

图 | 罗纳德·格雷厄姆（来源：资料图）

然而在几十年里，没人能够证明格雷厄姆的直觉成立。转机来自于几位当代年轻数学家，最近他们从不同方向的合围，把这个问题成功解决了。其中一篇论文由德国波恩大学的数学家丽莎·萨沃曼和美国芝加哥大学的范辉俊在 2026 年 2 月顺利发表，借此正式关上了这个问题。

这个问题的解决不是上述一篇论文完成的，前后一共涉及到四篇论文，来自几组不同的年轻数学家之手，他们各自处理了集合规模不同的情况，合在一起才把格雷厄姆猜想实现了完整证明。

这几位数学家各自处理了规模不一样的集合。牛津大学的阿尔普·穆耶塞尔以及他的前导师阿列克谢·波克罗夫斯基，处理的是集合几乎包含 p 之前所有数的情况。在这种情况下构造合法排序十分困难，不过从随机排列出发能够走完大部分路，领域内人士经常把这类问题叫大海捞针。

数学家们也许知道有很多好的排列存在，然而真的找一个出来很难。本次研究中，他们先是把几个特别挑选的数放到一边，接着把剩下的随机打乱，再去扫描有没有问题。假如发现一段区间加起来等于零，就会插入一个备用数字来改变它。

牛津大学的两位数学家诺亚·克拉维茨以及本杰明·贝德特处理的是另一个极端的集合很小的情况，比如集合里有 100 个数，而 p 是 10 亿。他们在 2024 年 9 月发表了证明成果的论文。同样在牛津大学任职的穆耶塞尔看到之后联系了他们，随后几个人又联合起来，把穆耶塞尔原来的方法推广到了更多情况之中。克拉维茨原本认为这是一个不太可能的组合，因为他和穆耶塞尔尽管都在牛津大学工作，但其实来自组合数学里两个通常不合作的领域。

不过中间还留着一个缺口。在集合规模中等的时候，譬如集合里的数大约是 p 的一半，之前的方法都不起作用，在当时看起来这个问题可能要再次搁置很久。

前面提到的波恩大学数学家萨沃曼和芝加哥大学数学家范辉俊是十年前在美国斯坦福大学认识的老朋友。2025 年 9 月的时候，一场在德国举行的会议让他们得以有机会重新共用一块黑板来研究数学问题。会议之后，范辉俊跟着萨沃曼去了波恩待了三天。由于他们在前述会上听到了两个关于格雷厄姆猜想的报告，了解到大家都试图填补缺口但却没成功，但这反而让他们被吸引了。

萨沃曼读高中时在国际数学奥林匹克竞赛里见过一个密切相关的问题，并且她当时做对了这道题。到高中毕业的时候，她已经四次拿到这项赛事的金牌。其认为有一种推测是，当年出题的人可能正是格雷厄姆的妻子、美籍华人数学家金芳蓉，要知道后者经常从格雷厄姆的谜题里找灵感。

等到三天访问结束的时候，萨沃曼和范辉俊已经产生了一个破解方案，方案的核心是一种叫反集中的方法。反集中指的是某个事件发生的概率特别低，然而这种证明的细节非常复杂。前面提到的牛津大学数学家克拉维茨告诉媒体，他们当时知道反集中方法可能会成功，只是没有胆量去尝试。

后来，萨沃曼和范辉俊用前人的办法把数随机重新排列，接着再想办法修补问题，也就是修补那些加起来等于零的序列。通过此他们发现有三类坏事件会导致修补失败，零和序列出现在了排列末尾，这时没有别的数可以换进来，很多零和序列靠得太近了，以至于来不及一一修补。修补完毕一个坏序列，可能在后面又造出来一个新的零和序列。

他们用反集中证明了这三类坏事件各自发生的概率足够低，然后他们使用傅里叶分析证明了当人们把随机的一组数加起来时，没有一个和会以特别容易的方式出现。这时再把这两个洞察合起来，借此估算每个坏事件的发生概率，最后的结果证明出现坏事件的总概率是低于 100% 的，至此这就已经足够证明猜想了。

几个月之后，他们发表了长达 27 页的证明论文，通过此他们不仅一起证明了满意的重排总是存在，还证明一个随机排列经过调整之后，至少有 90% 的情况下能够消除所有坏事件。

四篇论文合在一起之后，证明了格雷厄姆猜想对任意规模的集合都是成立的。但是它们都假设 p 非常大，尽管没人算出确切数值，不过大概是 10 的 100 次方这个量级。

对于数学家来说这不算什么问题，因为重点是你得在钟表算术（一种有限的数字系统）的设定里工作。但是如果你想用这个结果去编排一场真正的杂耍，那这时就不行了，因为要对应这么大的 p，杂耍动作得长到离谱。

而此次证明确认了这样一件事，那就是即使在这些奇怪、有限的数字设定里，也总会有一些漂亮的结构存在。人们总是能够找到某种灵活性，把集合里的数进行重新洗牌，从而避免重复出现同一个部分和。格雷厄姆已于 2020 年去世，享年 84 岁。他在生前没能等到问题的答案，但他的问题在 2026 年被一群年轻的数学家接着解开了。

参考资料：

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-harness-randomness-to-crack-a-55-year-old-conjecture-20260928/?utm_source=chatgpt.com

注：封面/首图由 AI 辅助生成