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作者：结构化AI创作笔记
一个向量，竟然也能看成函数？
这件事第一次听，很多人都会觉得有点反直觉。
因为我们从课本里认识向量，通常是从箭头开始的。
有方向，有大小。
后来又写成：
v=(2,-1,5)
于是很多人自然会觉得：
向量，就是“一串数字”。
但如果再往前走一步，会发现一个很重要的事实：
这串数字，其实已经非常像函数了。
先看三维向量：
v=(2,-1,5)
它有三个位置。
第1个位置对应2，
第2个位置对应-1，
第3个位置对应5。
于是完全可以把它理解成一个函数：
v:{1,2,3}到R
满足：
v(1)=2
v(2)=-1
v(3)=5
也就是说：
输入“第几个位置”，
输出“这个位置上的数值”。
这不就是函数吗？
所以，一个n维向量：
v=(a1,a2,...,an)
可以看成：
v:{1,2,...,n}到R
其中：
v(i)=ai
这时候，向量的本质突然变得很清楚：
向量，就是给每个索引分配一个数值。
换句话说：
索引 -> 数值
这正是函数最基本的结构。
再往前一步，会更有意思。
如果向量不是有限维，而是：
(a1,a2,a3,...)
那么它就是一个数列。
而数列本身可以写成：
a:N到R
满足：
a(n)=an
所以无限维向量，本质上仍然可以看成函数。
有限向量，是有限索引集上的函数。
无限数列，是自然数集上的函数。
于是“数列”和“向量”之间的界限，一下子就没有那么神秘了。
但这里还藏着另一个方向。
不仅向量可以看成函数，函数本身也可以成为向量。
比如两个函数：
f(x)
g(x)
我们可以定义：
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
还可以定义：
(lambda f)(x)=lambda f(x)
这和普通向量的加法、数乘完全一致。
所以，只要满足向量空间的规则，一批函数也可以组成一个向量空间。
例如：
C([0,1])
表示区间[0,1]上的所有连续函数。
这里面的每一个元素，都是函数。
但在线性代数里，我们完全可以把它们当成“向量”。
于是，一个很重要的数学观念出现了：
向量不一定是箭头。
向量也不一定非得是三元组、四元组。
在抽象线性代数里，
向量首先只是“向量空间中的一个元素”。
它可以是一串数字，
可以是一个矩阵，
可以是一个多项式，
也可以是一个函数。
所以“向量也是函数”这句话，最好理解成两个层次。
第一层：
一个具体坐标向量，可以看成“索引到数值”的函数。
第二层：
某些函数集合本身可以组成向量空间，因此函数也可以作为向量存在。
这两个方向一接上，很多原本分散的知识就连起来了。
数列是函数。
坐标向量也是函数。
函数又可以组成向量空间。
矩阵则可以把一个向量变成另一个向量。
于是会形成一条很漂亮的数学主线：
-> 数列
-> 向量
-> 函数
-> 函数空间
-> 更一般的线性结构
这也是为什么数学学得越深入，越会发现：
很多章节并不是彼此独立的。
它们只是从不同角度，在研究同一种结构。
最后记住一句话：
向量可以看成“索引到数值”的函数；
函数也可以作为向量存在。
外表不同，结构相通。
这就是数学真正迷人的地方。
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