蔡天新：挂谷猜想

2026年7月23日，在美国费城宾夕法尼亚会议中心举行的第30届国际数学家大会开幕式上，中国数学家邓煜和王虹因为证明了狭义希尔伯特第六问题和三维挂谷猜想双双获得菲尔兹奖，新闻迅速引爆了全球，尤其是中国，每天都有多家媒体报道。1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出的23个数学问题早已经大名鼎鼎，那么谁是挂谷？何又为挂谷猜想呢？

挂谷宗一是日本数学家，1866年，他出生于广岛县福山市坪生村，早年就读于故乡的中学，1906年考入东京帝国大学（今东京大学）数学系，毕业后先是在东京的大学预科学校任教，1912年受聘仙台的东北帝国大学（今东北大学）副教授，并于1916年在职取得博士学位。正是在仙台任教期间，他提出了著名的挂谷猜想（1917），翌年晋升教授。

东北帝国大学医学部的前身是创办于1879年的仙台医学专门学校，那正是鲁迅先生1904年至1906年就读的学校。遗憾的是，挂谷于1919年调任东京高等师范学校，中国留学生陈建功晚来了一年（苏步青比陈建功又晚了四年），没有成为挂谷的学生，但他是在挂谷和同事开创的分析团队中成长起来的数学家。

1930年，挂谷出任母校东京帝国大学教授，曾担任理学部主任，他的学生里有后来获得菲尔兹奖的小平邦彦。1954年，在阿姆斯特丹举办的国际数学家大会上，小平邦彦和法国数学家塞尔分享了菲尔兹奖，这是该奖第三次颁发，小平邦彦成了亚洲第一个菲尔兹奖得主。在他晚年出版的自传里，有一幅插图是他在东京帝国大学读书时的成绩单。在这张成绩单上，除了修读的各门功课和成绩，还有老师们的签名。有高木贞治（日本现代数学之父）的微分积分学，也有挂谷宗一的微分方程式论。可惜挂谷老师没有看到小平的获奖，1945年日本战败，那年夏天投在挂谷家乡广岛的原子弹给他带来精神上的巨大冲击，1947年初即病逝，年仅60岁。

日本数学家挂谷宗一

最初，挂谷将他的问题描述成武士在茅厕内遭遇敌人四面射箭袭击，需要在极小空间里转身挥刀抵挡各个方向的箭矢。转化为数学问题就是：一根长度为1的线段（细针）在平面内完整旋转180度掉头，能容纳它转动的区域的最小面积是多少？如果该长度是圆的直径，那么转一圈的区域面积是π/4，约0.785。转身也可以在高为1的全等三角形内完成，面积约0.577。挂谷考虑了三叶瓣线（不同于笛卡尔的三叶玫瑰线），它的隐函数方程非常漂亮，面积是3π/32，约0.295。当时学界认为这就是最小的面积。挂谷成为20世纪初日本少有的在国际数学界留下命名级问题的数学家。

1928年，乌克兰出生的苏联数学家阿布拉姆·贝西科维奇（1891年—1970年）得到了颠覆性的结论，即证明挂谷问题的区域面积可无限趋近于零。事实上，早在1919年，他便在一篇用俄文撰写的论文中证明了这个结论，并在他任教的彼尔姆大学主办的《彼尔姆物理数学学报》上发表了。他采用了帕尔平移和佩龙树方法，帕尔平移可使一根针平移而扫过的面积无限小，具体操作如下：先以针的低端为顶点小角度旋转，然后沿着针的方向向上移至目的地上方，再以针的上端为顶点小角度旋转，使其正对目的地上方，再沿针的方向落下。

彼尔姆是同名边疆区的首府，乌拉尔山脉西麓，比19世纪数学家罗巴切夫斯基所在的鞑靼共和国首府喀山离莫斯科更远。罗巴切夫斯基率先在喀山大学学报发表了非欧几何学的工作。1924年，已经在列宁格勒大学任教的贝西科维奇获得洛克菲勒基金会提供的奖学金，准备去丹麦与哈拉尔德·玻尔（物理学家尼尔斯·玻尔的弟弟）合作研究，但当时的政府当局不予批准。他后来和一位同事坐火车向西南到普斯科夫，步行至森林地带，然后趁夜色翻越边境，进入拉脱维亚，随后乘火车去德国，再坐渡船到哥本哈根，一年后转往英国。离开苏联后，他才知道挂谷问题，遂将原先的论文稍加改造，于1928年发表在德国《数学杂志》上。

在欧氏几何中，点的维数是0，线段的维数是1，平面的维数是2，空间的维数是3。1918年，德国数学家菲利克斯·豪斯多夫（1868年—1942年）提出了豪斯多夫维数的概念，它可以刻画一个几何集合填充平面（空间）的能力。在分形几何学存在维数为分数的情形。换言之，分形能绕弯出更多“体量”，因此维数大于1、小于2。挂谷集（Kakeya set），是指每个方向都包含一条单位线段，又称贝西科维奇集。之后，挂谷问题的核心从“最小面积”转向了“维数下界”。于是有了挂谷猜想的完整表述：n维欧氏空间中，任意挂谷集的豪斯多夫维数都等于n（满维）。

华裔数学家陶哲轩

1999年，华裔数学家陶哲轩和内茨·卡茨在一篇综述文章中确认了挂谷猜想。翌年，他们和波兰裔加拿大数学家伊莎贝拉·拉巴合作，把三维挂谷集维数下界从2.5提升了十万兆分之一，即2.5000000001。2014年，陶哲轩和卡茨在博客上给出了证明三维挂谷猜想的三部曲，即卡-陶纲领：第一步，若存在低维（<3）的反例，则必然属于平面型、颗粒型和黏性型三者之一，前两者较容易排除；第二步，刻画黏性（sticky）挂谷集，从其几何结构导出实数集上对加法和乘法封闭的分形子集；第三步，利用布尔甘离散和积定理导出矛盾，完成证明。

2022年10月，王虹和约书亚·扎尔（现任南开大学教授）直接证明了黏性挂谷集阿苏德维数为3。这里阿苏德维数大于等于豪斯多夫维数，此文2024年1月发表于顶刊《美国数学会会刊》（JAMS）。2025年2月，他们在互联网上又发表了127页的论文，依照卡-陶纲领给出三维挂谷猜想的完整证明，即挂谷集的豪斯多夫维数为3。2026年1月，王虹的导师古斯（也是扎尔的博士后导师）加入，三人把论文精简成47页，以《三维挂谷猜想的简化证明》为题发表在互联网上，成为王虹获得菲尔兹奖的关键佐证材料之一。

目前，四维和四维以上的挂谷猜想尚未解决，仍然是一个公开的问题。比较拓扑学中的庞加莱猜想：任意单连通的闭合三维曲面都同胚于三维球面。这个猜想由法国数学家庞加莱于1904年提出，历时一个世纪才得以解决，不过却是以相反的方向，且前后相隔20年颁发了三枚菲尔兹奖（1966年、1986年、2006年），美国数学家斯梅尔、弗里德曼和俄国数学家佩莱尔曼先后证明了五维及五维以上、四维和三维的情形。究其原因，可能是由于这两个问题的自由度和约束条件多少的关系恰好相反的缘故。

原标题：《蔡天新：挂谷猜想》