刘若川：实数世界里不可能的事，在这里成为可能

2025年是联合国教科文组织确立的“国际量子科学与技术年”。在数学的天地里，同样有许多令人惊叹的抽象构造。墨子沙龙十周年之际，北京大学数学科学学院院长、中国科学院院士刘若川，为现场观众带来了一场关于“p 进数”的科普报告。

作为现代数论的重要工具，p 进数从我们熟悉的进制表示出发，把整数从右向左有限书写的形式，扩展为可以向左无限延伸的形式。由此得到的并不是一种书写游戏，而是一个具有严格运算法则和独特“距离观念”的新数系。

在这个数系中，有些在实数世界里不可能发生的事情会成为可能。例如，在5进数中，-1 有平方根。对每一个素数 p，我们都可以建立一个相应的 p 进数世界，从一个新的方向观察整数。

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从进制说起

数论研究的是整数及其性质。整数看起来非常熟悉：有自然数1,2,3,…，有0，也有负整数。但关于整数，人们可以提出许多极其困难的问题，其中不少问题至今仍未解决。

与几何图形相比，整数缺少直接的视觉形象。几何对象可以画出来，而整数的深层结构往往只能通过抽象思维来把握。

我们不妨从最熟悉的“进制”讲起。

日常生活中通常使用十进制。例如，

2026 = 2×103 +0×102+2×10+6

人类普遍使用十进制，可能与人有十根手指有关。但历史上并非所有文明都只使用十进制。例如，古巴比伦文明广泛使用六十进制；今天的计算机则主要使用二进制。

既然可以使用十进制、二进制，自然也可以使用五进制。例如，五进制中的

(314)5

表示

3 ×52 +1×5+4=84

这里右下角的5表示这是五进制写法。

进制表示的一个重要好处，是它可以直观地反映余数信息。例如，在十进制中，整数2026的个位是6，说明它除以10余6；末两位是26，说明它除以100余26。

同样，在五进制中，一个数最右边的一位记录它除以5的余数，最右边两位记录它除以25的余数，最右边三位记录它除以125的余数。

这正是进入 p 进数世界的入口。

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什么是 p 进数

数学中通常用字母 p 表示一个素数。素数是大于1、只能被1和自身整除的正整数，例如

2, 3, 5, 7, 11, ...

素数之所以重要，是因为每一个大于1的正整数，都可以本质上唯一地分解为素数的乘积。这就是算术基本定理。例如，

10 = 2×5,15 = 3×5, 25 = 52

因此，素数可以看作组成正整数的“基本模块”。

现在考虑五进制。通常的非负整数只能向左写有限多位，例如

(314)5

我们现在作一次大胆的扩展：允许五进制数字向左无限延伸。例如，

· · · 4444

其中每一位都只能是0,1,2,3,4。

所有这种向左无限延伸的五进制数字串，连同适当定义的加法和乘法，组成一个数系，称为五进整数，记作

更一般地，对任意素数 p，允许每一位取

0, 1,...,p − 1

并向左无限延伸，就得到p 进整数环

这里有一个需要注意的术语区别：这种没有“小数部分”的无限展开严格来说叫作 p 进整数。再允许有限多个 p 的负次幂，也就是允许小数点右边出现有限多位，就可以得到完整的p 进数域

在Zp 中可以进行加法、减法和乘法；在Qp 中，除了不能除以0之外，还可以进行除法。

普通整数也自然包含在Zp中。例如，一个非负整数写成p进制以后，只需在左边补上无限多个0。负整数也有相应的无限展开。

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为什么无限运算是可行的

两个向左无限延伸的数怎样相加呢？规则与小学算术基本相同：从最右边开始逐位相加，满 p 就向左进位。

关键在于，虽然整个数字串有无限多位，但要确定其中任意指定的一位，只需要计算它右边有限多位产生的进位。因此，每一位都可以在有限步骤内确定。

乘法也是如此。使用类似竖式乘法的规则，要确定某一位，只需要考虑有限多项。所以，无限向左延伸并不会使每一位的运算变成无法完成的“无限任务”。

从更严格的角度说，一个 p 进整数同时记录了这个数除以

p, p², p³, ……

时的全部余数信息，而且这些余数彼此相容。因此，p 进整数也可以理解为：不断提高模 pn 精度时得到的一个一致极限。

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p 进数中的距离

p 进数与实数最根本的差别之一，是它们判断“远近”的方式不同。

在通常的实数世界中，两个数数值相差越小，就越接近。而在 p 进世界中，两个整数的差能够被越高次的 p 整除，它们就越接近。

例如，在5进数中，

1,1 +5, 1+52, 1+53,...

后面的数与1的差分别是

5,25, 125,...

这些差在通常的绝对值意义下越来越大，但在5进意义下却越来越小。因此，

1 +5n

在5进意义下越来越接近1。

这也可以解释为什么向左越来越远的数字，对一个 p 进数的影响反而越来越小。

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一个奇妙的等式

在五进数中，有一个看起来十分奇妙的等式：

· · · 4444 = −1.

为什么呢？把1加到这个数上。从最右边开始，

4 +1=5,

于是这一位写成0，并向左进1。下一位又是

4 +1=5,

继续写0、向左进1。这个过程逐位进行，最终每一个确定的位置都会变成0。

所以

· · · 4444 + 1 = 0,

从而

· · · 4444 = −1.

也可以从有限近似来理解。五进制中有

4 =5−1

445 = 52 −1,

4445 = 53 −1

一般地，

当 n 越来越大时，5n 在5进意义下越来越接近0，所以 5n-1 越来越接近 -1。

它在形式上有些类似十进制中的

0.999··· = 1,

但两者使用的是不同的距离和收敛方式：前者属于5进数，后者属于实数。

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在五进数中，-1 可以开平方根

在实数中，不存在实数x满足

x2 = −1.

但在五进数中，确实存在这样的x。我们可以逐步提高精度来构造它。

首先只考虑模5的情形。因为

x2 = −1

22 = 4 ≡−1 (mod 5)

所以可以先取

x ≡2 (mod 5).

接下来，希望找到模25的解。设

x =2+5a,

其中a可以取0,1,2,3,4。代入可得

x2 +1 =(2+5a)2 +1 =5+20a+25a2

要使x2≡−1 (mod 25)，就需要

5 + 20a ≡0 (mod 25),

也就是

1 +4a ≡0 (mod 5).

解得

a ≡1 (mod 5).

因此

x ≡7 (mod 25).

而7的五进制写法是

(12)5

继续把模25的解提升到模125、模625，便可以逐位确定更多数字。例如，可以得到

x ≡ 57 (mod 125),

其中

57 = (212)5,

再进一步得到

x ≡ 182 (mod 625),

182 = (1212)5.

如此继续下去，就得到一个向左无限延伸的五进整数x，满足

x2 = −1.

这个从模5的解逐步提升到模52,53,... 的过程，可以由数学中的Hensel 引理保证。

不过，并不是在每一个p进数世界中，−1都有平方根。对于奇素数p，−1在Qp中有平方根，当且仅当

p ≡1 (mod 4).

因为

5 ≡1 (mod 4),

所以在五进数中有平方根；而

7 ≡3 (mod 4),

所以在七进数中没有平方根。

每一个素数p，都给出了一个性质各不相同的数字世界。

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为什么研究 p 进数

有人也许会问：这样一个抽象的数系有什么用？

首先，数学对象的存在并不要求我们能够直接看见或触摸它。整数本身就是从现实事物中抽象出来的：5个苹果、5个梨、5本书，它们共同体现了抽象的数量“5”。

p 进数同样是理性构造出来的数学对象。它有明确的定义、严格的运算法则和丰富的内部结构。

更重要的是，研究 p 进数的最终目的，往往还是为了研究普通整数。许多关于整数的问题，在整数系统内部很难处理。数学家于是把同一个问题分别放到实数和不同的 p 进数世界中考察。

对每一个素数p，Qp 都提供了一个从“p的方向”观察有理数和整数的方法。可以把整数世界想象成一个复杂的立体物体，而不同的p进数世界，就像从不同方向投射出的影子。

研究这些影子，往往能够帮助我们了解原来的物体。

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局部与整体

数学中有一种重要思想，叫作“局部—整体原则”。

这里的“局部”，不仅包括每一个p进数世界Qp，通常还包括实数世界R；“整体”则通常指有理数世界Q。

对于某些类型的方程，特别是二次型方程，有一个非常深刻的结论：一个二次型方程在有理数中存在非零解，当且仅当它在实数中有解，并且在每一个Qp中都有解。

这就是Hasse–Minkowski 定理。

需要特别注意的是，这里讨论的是二次型的有理数解，不能简单表述为“只要在每个p进数中有解，就一定有整数解”。从有理数解进一步判断整数解，通常还需要考虑整性、同余条件以及其他算术信息。

对于次数更高的方程，局部处处有解也未必能推出整体有解。确实存在一些方程：

• 在实数中有解；

• 在每一个p进数中都有解；

• 但在有理数中没有解。

这说明，所有局部信息加在一起，有时仍不足以完全决定整体情况。现代数论和算术几何中，人们使用上同调、Brauer 群等更深刻的工具，研究这种由局部到整体过程中出现的障碍。

因此，p 进数并不是凭空创造出来的奇异对象。它们揭示了整数和有理数所具有的深层结构。

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数学家的思维方式

最后值得关注的，不只是某一个具体定理，而是数学家解决问题的方式。

对许多学生来说，数学常常表现为做题：题目已经给出，入口和出口也已经存在，任务是在规定的道路中找到解法。这有些像在迷宫里寻找出口。

但真正的数学研究，常常还需要另一种能力：不只是在迷宫中走，而是设法“飞起来”，从更高的角度重新观察整个迷宫。

在数学世界里，这架“飞机”不会自然出现。它需要数学家创造新的概念、新的语言和新的数系。

p 进数就是这样一种创造。它把人们熟悉的进制表示向左无限延伸，改变了衡量距离的方式，也为研究整数提供了全新的观察角度。

如果把整数世界比作一个结构极其复杂的物体，那么实数世界以及各个 p 进数世界，就像从不同方向照射它所形成的影子。我们分别研究这些影子，再尝试把各种信息综合起来，从而理解原来的整数世界。

数学中的重要突破，往往就来自这样的视角跃迁。

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结语

今天，希望大家至少记住两件事：

第一，p进数是一种严格定义的新数系。向左无限延伸的数字串首先构成p进整数Zp；进一步允许有限位的负次幂，就得到p进数域Qp。它们拥有与实数不同的距离和收敛观念，并能够帮助我们研究整数和有理数问题。

第二，数学家的任务不只是在已有的迷宫中寻找道路，也包括创造新的工具、建立新的视角，甚至发明一架可以飞到迷宫上空的“飞机”。

而未来制造这架飞机的人，也许就在今天的听众之中。