未来的菲尔兹奖都离不开AI？其实AI更离不开数学

这个夏天，在四年一届的国际数学家大会上，中国数学家、北京大学2007级本科校友王虹和邓煜，获得了数学界最高荣誉——菲尔兹奖。

也是在这个夏天，数学家阿尔珀格借助AI找到了雅可比猜想三维以上情形的反例，震动了数学界。

更令人感到“恐怖”的是，OpenAI刚刚推出了一篇名为《数学和理论计算科学中的十个进展》的文章，所解决的问题，被很多数学家认为达到了菲尔兹奖的水平。

已有不少人感叹，今年的菲尔兹奖，是人类最后的荣光。

OpenAI发布《数学与理论计算机科学领域的十项进展》，图：OpenAI。

也许AI真的会主导未来的数学研究，但你知道吗，AI的底层逻辑其实就是数学。

只有打好扎实的数学基础，具备严谨的数理思维，才能理解算法的本质。

01

AI如何“看见”世界？

先把万物变成数字

AI如何“看见”一张图片？一个看似简单的问题揭示了AI最底层的秘密——万物可量化。

原图与打码后的图片

一张黑白照片，在计算机眼里不过是一个数字矩阵：每个像素点对应一个0到255的灰度值。彩色图片则是三个这样的矩阵——红、绿、蓝三通道。这就是AI“看见”世界的方式。当你想给照片打马赛克时，本质上不过是对矩阵中的某一区域做“平均值替换”运算。

这就是数学的力量。没有矩阵，AI就是“瞎子” 。图像识别、视频处理、人脸识别……所有这些炫酷的AI应用，第一步都是把现实世界“翻译”成数学语言——数学是AI理解世界的通用语言。

02

AI如何预测未来？

从一条直线开始

为什么智能手机能估算你的最大摄氧量？答案是线性回归。

线性回归示意：

用一条直线描述散点数据的整体趋势。

简单来说，AI通过大量数据找到心率与最大摄氧量之间的数学关系——一条直线。当你输入心率，AI就用这条直线“预测”你的体能水平。

从单变量到多变量，从线性到非线性，预测的本质，始终是最小二乘法、梯度下降这些18、19世纪数学家发明的工具。

没有这些数学公式，AI连一个简单的“猜体重”都做不到。

03

AI如何作出判断？

信息熵与贝叶斯概率

如何解决“选择困难症”？决策树来帮忙。决策树的核心问题不是“问什么”，而是“先问什么”。这背后站着一个关键概念：信息熵。

简单决策树：

通过连续提问，把不同形状逐步分到对应类别。

信息论之父香农在1948年提出信息熵，用来衡量信息的不确定性。决策树每次分裂，都要选择让信息熵下降最多的那个问题——这在数学上叫作“信息增益最大化”。

朴素贝叶斯则更直观。垃圾短信拦截的原理是：当短信中出现“中奖”“免费”等词时，它是垃圾短信的概率有多高？贝叶斯公式告诉你如何综合多个关键词的概率，做出最优判断。这个公式诞生于18世纪，200多年后成了过滤垃圾短信的利器。

04

AI如何识别图像？

KNN、CNN与数学运算

手写数字“千奇百怪”，AI是如何识别的呢？KNN（K近邻）算法的逻辑极其朴素：要判断一个新数字是什么，就看它离已有的哪个数字“最近”。这里的“距离”是欧氏距离——初中数学就学过的公式。

K近邻分类：待判断样本的类别，会受到周围k个近邻的共同影响。

CNN（卷积神经网络）则复杂得多。卷积运算本质上是一个滤波器（一个小矩阵）在图像矩阵上滑动，做逐元素乘法后求和。整个CNN就是数百万次乘加运算的叠加——没有微积分（反向传播算法）、没有线性代数（矩阵乘法），CNN寸步难行。

卷积计算示例：

小型卷积核在输入矩阵上滑动，逐步生成特征图。

05

AI如何自动分组、

距离与矩阵的力量

K-Means聚类解决“自动分组”问题。算法先随机选几个中心点，然后不断迭代：把每个数据点分到最近的中心，再重新计算中心位置。这个过程中反复使用的是距离公式和均值计算——八年级数学的内容，却是无数数据分组应用的基础。

K-Means的一次中心更新：

每组数据的中心移动到该组样本的平均位置。

协同过滤回答“如何推荐电影”。背后的数学是矩阵分解：把一个“用户-电影”评分矩阵分解成两个小矩阵的乘积，从而预测用户未看过的电影的评分。没有矩阵运算，就没有“猜你喜欢”。

06

AI如何理解语言、

生成图像？

走近Transformer

与GAN

AI除了能“看见”图像、“预测”趋势、“分类”信息，还有两样更接近人类智慧的能力——理解语言与“无中生有”。

今天ChatGPT、DeepSeek等大语言模型的基石是Transformer。它的核心创新叫作“自注意力机制”。这个机制要回答的问题是：在一句话里，每个词和哪些词关系最紧密？比如“苹果很好吃，我每天吃一个”中，“吃”和“苹果”高度相关，而“好吃”和“苹果”也紧密相连。自注意力如何计算这种相关性？全部是矩阵乘法。

首先，每个词都会被表示成一个向量（即一组数字），整个句子就变成一个矩阵。然后，Transformer为每个词生成三个向量：查询（Q）、键（K）和值（V）。通过计算Q与所有K的点积，得到每对词之间的“注意力分数”，再经过Softmax归一化（把分数转换成概率分布），最后用这些概率去加权求和对应的V向量，就得到了融合上下文的新表示。这一切，本质上就是矩阵乘、加法、指数运算和除法。而Transformer还包含“多头注意力”，即同时运行多组这样的运算，让模型从不同角度捕捉语义关系；加上位置编码（使用正弦余弦函数），让模型知道词的先后顺序。训练一个Transformer模型，还需要反向传播算法——它的核心是微积分中的链式法则，用来逐层调整数百万甚至千亿个参数。每一次ChatGPT的回复，背后都是千亿次这样的数学运算在GPU上并行完成。

生成对抗网络（GAN），则让AI走上了“创作”之路——从生成逼真的人脸画像，到把文字描述变成图像（如Stable Diffusion的前身），GAN开创了生成式AI的先河。GAN由两位“玩家”组成：生成器（Generator）和判别器（Discriminator）。生成器像一个伪造者，接收一段随机噪声（通常来自高斯分布），试图生成一幅“以假乱真”的图片；判别器则像一名侦探，负责判断输入的图片是真实样本还是生成器造出来的假货。两者相互博弈、彼此进化——生成器努力骗过判别器，判别器努力识破骗局。这个博弈过程在数学上被建模为一个极小极大优化问题：判别器希望最大化自己判断正确的概率，而生成器希望最小化判别器判断正确的概率。

生成对抗网络：生成器尝试制造样本，判别器同时学习区分真实与生成结果。

训练时，算法交替固定一方、更新另一方的参数，每一步都依赖梯度下降——这意味着要求出损失函数对每个参数的偏导数，没有微积分，这一步根本走不下去。而且，GAN的训练极为敏感，需要精心设计损失函数和优化策略，否则会出现模式崩溃或不收敛，这一切都考验着对数学优化的理解。

无论是Transformer的千亿参数在云端推理，还是GAN在像素空间里“凭空作画”，它们成功的秘密并不是魔法，而是线性代数（矩阵运算）、微积分（梯度下降与链式法则）、概率论（Softmax与随机采样）在超大尺度上的协同共振。没有这些数学工具，AI既听不懂人话，也画不出图画。今天最令人惊叹的AI创造力，归根结底是数学在数字世界里的华丽演出。

07

数学为舵

伦理为帆

AI的发展提出了一个发人深省的问题：如何设计一个公平的评审系统？答案是：公平性最终要落实到数学定义上——是保证各组平均分相等（均值平等），还是保证排名分布一致（分位数平等）？不同的数学定义，导向完全不同的结果。

2026年6月2日，16位数学家发布长达11页的《人工智能与数学莱顿宣言》，提出使用AI时应遵循的原则，即要支持而非削弱数学学科的发展。

回到开篇的问题：AI真的会主导未来的数学研究吗？雅可比猜想的反例由AI辅助发现；OpenAI的模型一次性攻克了十项多年未解的数学难题。这些事实令人震撼。但请记住：AI再强大，它运行的每一条指令、计算的每一个结果，都遵循着人类数学家几个世纪以来建立的数学规则。AI能发现反例，是因为人类教会了它如何搜索数学空间；AI能证明定理，是因为人类把定理翻译成了它能够推理的形式语言。

未来的菲尔兹奖或许真的会颁给“人机协作”的成果。但那个“机”字背后，站立的是整个人类数学的殿堂——从欧几里得到高斯，从牛顿到黎曼。AI是船，数学是海。船再快，也离不开海。

人大附中名誉校长刘彭芝在序言中写道：

“当你们在课堂上拆解数学公式与AI原理的关联，在实践中探索技术服务生活的可能，本质上正是在回应时代的召唤——承接起让技术造福人类的文明使命。”

希望年轻一代看清这片海洋的航图，理解一个朴素的真相：想要驾驭AI，先要敬畏数学。因为每一个看似神奇的AI应用，剥开外壳，里面全是数学！

在人工智能快速发展的今天，

你觉得数学扮演着怎样的角色？

你认为数学中哪一种能力在AI时代最重要？

逻辑推理、抽象思考、建立模型，

还是分析数据？

欢迎在留言区畅所欲言，

小北将从中抽选2位幸运读者，

赠送这本面向未来的数学通识书。

脉络清晰、案例鲜活

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-End-

封面图：视觉中国

观点资料来源：

《中学人工智能及其数学基础十二讲》

转载及合作请发邮件：scb01@pup.cn

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