他们讲述了王虹、邓煜更多故事，人才培养没有固定模式

北大数学校友在2026国际数学家大会。图源：北京大学数学科学学院

整理｜李珊珊 张天祁‍

王虹、邓煜为何能够获得菲尔兹奖？他们身上有什么故事？他们获奖，对中国数学又意味着什么？

7月23日晚，《知识分子》《赛先生》与抖音共同举行了一场直播，解读2026菲尔兹奖。此次直播邀请到几位数学家，其中包括王虹、邓煜昔日的老师同学。参与直播的嘉宾包括：

刘和平：北京大学数学科学学院退休教授，邓煜大二上过他讲的研究生课程

刘张炬：北京大学数学科学学院退休教授，王虹本科毕业论文指导老师

苗长兴：北京应用物理与计算数学研究所研究员，曾主持验证王虹的挂谷猜想工作

孙鑫：北京大学北京国际数学研究中心教授，王虹、邓煜北大数院2007级同学

王振富：北京大学北京国际数学研究中心助理教授

夏志宏：《知识分子》总编辑、大湾区大学数学讲席教授

以下为直播实录的部分内容（未按嘉宾发言顺序整理）：

01

王虹、邓煜的获奖工作

（注：王虹和Joshua Zahl在2025年初发布长篇论文，完整解决三维挂谷猜想。田刚在北京大学发起“调和分析高级研讨班”，在此基础上，苗长兴与庞逸轩、韦东奕等青年数学家一起仔细推敲和验证王虹、Zahl的原始论文，验证报告提交给了国际数学联盟。苗长兴还在2025年46卷第1期《数学年刊A辑》发表综述“调和分析及相关领域的公开问题”，详细介绍调和分析四大猜想的起源、进展和研究方法，包括王虹与Zahl的结果。）

苗长兴：我认识王虹，其实是从组织讨论班研读她的博士论文开始。很多人认为，她因为解决三维挂谷猜想而“一战成名”，事实上绝非如此。在她与Zahl合作解决三维挂谷猜想之前，在调和分析、几何测度论领域几个重要猜想中均取得重大突破。例如：她博士阶段就引入“broom”的几何对象，实质推进了限制性猜想的研究。后来，她又与吴澍坤教授一道，通过发展关联几何方法，在限制性猜想方面取得迄今为止最佳结果，这些也写进了菲尔兹奖的颁奖词中。

王虹的工作，不仅仅是解决三维挂谷猜想。

现代调和分析有四大著名猜想，它们的二维情形中，只有二维局部光滑性猜想长期悬而未决。王虹和她的合作者，古斯（Larry Guth）、张瑞祥，有非常深的洞察力，解决了二维局部光滑性猜想。

这件事我印象特别深。当时我和我的博士生高传伟也在做这个问题，我们对取得一点改进就觉得非常高兴。后来王虹来做报告，我们才知道，他们已经把问题彻底解决了。之后，我们与刘博辰、席亚昆一道，采用他们的研究策略，解决了二维黎曼曲面上的局部光滑性猜想。

为了解决三维挂谷猜想这个调和分析的重大猜想，王虹其实做了很多铺垫。比如，她在二维Furstenberg集猜想研究中，和合作者引入了新的工具，特别是径向投影理论，限制投影理论，做到了世界领先水平。

另外，在Falconer距离集猜想方面，她们在布尔干－德梅特（Bourgain-Demeter）发展的解耦理论基础上，引入了精细解耦(refined decoupling)，可视为考虑稀疏结构前提下的情形。大家知道，这个距离集猜想也是很难做的著名公开问题，往往是把它化成傅里叶分析问题，转化为研究抽象测度的Fourier变换的球面平均的衰减性。但这种衰减性即使用到尽头，只能做到n/2+1/4这个量级，再往上就没法再做了。在这方面，王虹他们的工作也是另辟蹊径，引入所谓的高低频分解的方法，取得了关键进展。

最终，王虹和JoshuaZahl采用“分而治之”的理念、精细的尺度归纳技术、加性组合、投影理论等，解决了三维挂谷猜想。

还有和偏微分方程有关的，无论是Mizohata–Takeuchi猜想、变系数振荡积分问题，还是Bochner–Riesz均值问题，她的工作都可以说是世界冠军级别的研究成果。我跟刘和平老师，跟调和分析同行在谈到王虹工作的时候就觉得，即使没有后来解决三维挂谷猜想这种百年难题，仅凭前面这些贡献，她拿菲尔兹奖我也不觉得奇怪。她的工作是非常杰出的。

刘和平：现代调和分析有四大著名猜想，可以说，王虹几乎都做出了世界领先的贡献。

苗教授刚才提到的二维局部光滑性猜想，是王虹2020年的代表作；而在限制性猜想方面，她与吴澍坤合作取得了目前最好的三维结果。去年她在中山大学作报告时，我专门问过她，这一成果是否意味着对应指标下的Bochner–Riesz平均猜想也成立。她告诉我，他们发表的方法同样适用于这一问题。

也就是说，在局部光滑性猜想、傅里叶限制性猜想、Bochner–Riesz平均猜想以及挂谷猜想这四大方向上，王虹及其合作者的工作几乎都代表了国际最高水平。

邓煜、王虹获2026菲尔兹奖。

王振富：大家如果想看比较严肃科普的话，我们北京国际数学研究中心推送的一个长篇采访，其实是很好的参考。那是我们的学生采访邓煜整理出来的。其中大家可以看到邓煜对未来偏微分方程（PDE）或者与概率相关方向发展的展望，体现出了他的大师风范。

我之前做的研究和邓煜可能有平行关系，也是从粒子系统到一个偏微分方程。邓煜后来获奖的工作——推导波动力学方程和推导玻尔兹曼方程，和我们在精神上其实是很相似的。我简单说一下自己了解的邓煜的三方面工作。

第一个是概率偏微分方程。也就是说，怎么从传统的“给定一个确定的初始值，研究PDE的适定性”，过渡到“给定一族（或者说一个分布）的初始值，去研究泛型实数解”。

第二个是从非线性薛定谔方程出发，假设一个随机的初始值，推导出波动力学方程。

第三个，可能在国内大家更熟悉，就是他在希尔伯特第六问题方面的研究。用更加数学化的语言来说，就是玻尔兹曼-格拉德极限的长时间推导。他这个工作其实是2024年8月贴出来的。后来在田刚老师的关心下，我们在2025年3月办了一个比较大的会议。这个会议上，邓煜讲了他们证明的主要步骤和想法。当然还有下一步工作：如果已经有了动理学极限，把之前的流体动理学极限加在一起，就可以实现从牛顿系统到玻尔兹曼方程，再到流体方程（比如Navier-Stokes方程）的全链条推导。这其实也是希尔伯特1900年提出“第六问题”时建议的一个研究方向。

能够实现这个事情还是非常令人震惊的。我读博士的时候，知道有法国的团队，比如洛尔·圣雷蒙（Laure Saint-Raymond），在研究推导玻尔兹曼方程，但结果还是限于短时间内，或者说在平衡态附近。如何从短时间走到长时间？如何从平衡态走到非平衡态？长期以来都是一个公开的问题。

洛尔·圣雷蒙是之前做这个问题的一位大家，她也是2006年或者2010年菲尔兹奖得主的有力竞争者。邓煜能够解决这个问题，大家都非常高兴，尤其对北大的学生，或者中国其他学校做数学的学生来说，是一个极大的鼓励。

02

同学老师眼中的王虹、邓煜

孙鑫：我现在就在国际数学家大会（ICM）现场，先简短分享一下我作为同学对两位菲尔兹奖得主的了解。

王虹和邓煜完全是两种不同的风格。邓煜在高中时就已经很有名气，在北大数院大一刚入学大家就都知道他叫“邓神”，以至于到现在我依然这么称呼他。他是国内典型的竞赛尖子生，而且是其中最拔尖的，本科阶段就已经非常耀眼。坦率地说，本科时我对王虹并没有那么熟悉，因为她最初是转系过来的，我和她真正熟识是在读博期间（注：孙鑫和王虹都是MIT的博士）。

北大数院2007级本科校友合影（左起：赵子慧、唐云清、王虹、邓煜、孙鑫、苏炜杰）。来源：北京大学数学科学学院

其实邓煜和王虹也分别是MIT第一个本科菲尔兹奖校友和第一个博士菲尔兹奖校友。邓煜在本科阶段转学去了MIT，王虹则是MIT的博士。

我认为，王虹和邓煜非常关键的一段学术经历，正是他们在MIT的科研生涯。比如，今天介绍邓煜获奖的嘉宾，正是他当年在MIT做本科科研的导师——吉廖拉·斯塔菲拉尼（Gigliola Staffilani）教授；而对王虹而言，她数学奠基时期极其重要的一段经历，无疑是在MIT师从拉里·古斯（Larry Guth）教授学习调和分析。因此，这次他们两人获奖，某种程度上也是对MIT本科与博士人才培养模式的高度认可。

刘和平：正如刚才孙鑫教授提到的，王虹和邓煜的经历确实非常不同。邓煜是走数学竞赛这条路脱颖而出的；王虹则是通过高考直接考入北大，而且最初是在地空学院，大二才转入数学系。

实际上，我对王虹的深入了解，是在她离开北大之后。去年6月，在中山大学一个座谈会上，我和王虹正好邻座。聊天时，她告诉我：“刘老师，我在北大的时候没有选您的课，主要当时还没想学分析。”我说我知道。我其实是通过几位和她合作的其他北大同学了解到她的，那些同学在北大时就修了我的课。可以说，王虹在北大本科期间并没有专注于调和分析，她的本科毕业论文也是跟着刘张炬教授做数学物理方向的课题。

邓煜则截然不同。虽然他现在的主要研究方向是偏微分方程，但他在北大初期确实是学习调和分析的。

大概从2007年春天开始，我连续10年讲授实分析课程，主要是讲授调和分析的核心内容。这门课原本是研究生的基础课，但也对本科生开放。大多数特别优秀的本科生通常在大三下学期才会选修，而邓煜是大二下学期就选了这门研究生课程，学习调和分析方向。他后来在采访中也提到，当时接触的调和分析前沿问题对他有很大帮助。

我讲这门课的十年间，大约有300人次选修。因为是研究生学位课程，平均分基本在75分左右，历史上能拿到100分满分的同学，大概只有十四五位。邓煜是第一个拿到满分的，而且当时他只是个大二学生。后来在我那门课上能拿到满分的，还包括与王虹合作过的同级同学欧雨濛，以及刚才提到的嘉宾孙鑫，他们都是满分。下一届与王虹合作的张瑞祥也拿了满分。另外，大家可能听过的韦东奕也是满分。

邓煜是我印象特别深刻的一个本科生学生。大二下学期时，他和同届的孙文博一起跟着我做“国家创新计划”的本科生科研。我建议他先读一本书，卢卡斯·格拉法科斯（Loukas Grafakos）写的经典专著《经典与现代傅里叶分析》。我让他直接读第十章，过了一个月问他读得怎么样，他说读完了。我问有什么困难吗，他说没有。我对这个学生的能力感到极其震撼。后来他们在本科科研中完成了关于厄尔米特算子展开的里斯平均在哈代型空间上有界性的研究，这个研究的水平作为硕士毕业论文都绰绰有余。

大三时，邓煜转学去了MIT。在他本科科研结题的评议表上，我写了一段原始的审核意见，这在北大档案中应该还能查到。我当时写道：“该生具有很强的学习和研究能力，以及很大的发展潜力，其水平已远远超出本科毕业生，是我教过的最优秀的学生之一。”

所以，他能做出非常出色的成果，我一点都不意外。他今天能拿菲尔兹奖，是我当时无法预料的，但我知道他一定会取得非常高的成就。

在北大当老师，面对邓煜这样特别优秀，最突出的学生，其实是有压力的。因为你希望他们能去跟最顶尖的大师学习，怕自己耽误了他们。客观地说，北大有非常好的学科基础，实力雄厚，但要在顶尖数学领域做出突破，一定要亲自去和世界一流的数学家合作，很多东西是读论文读不出来的。

至于王虹，我最早注意到她崭露头角，是她去跟随拉里·古斯（Larry Guth）读博期间。2019年，她和欧雨濛、张瑞祥、杜秀敏（李晓春的学生），还有她的导师拉里·古斯，共同发表了关于加权限制性估计和博赫纳-里斯（Bochner-Riesz）猜想的文章。因为我和她的合作者都很熟，比如欧雨濛跟我做过本科毕业论文，张瑞祥上我的课也拿了满分（注：他们两人出国时，刘和平老师都写了推荐信），所以一看他们的合作成果，我就开始关注她了。

从他们两人的成长来看，人才培养确实没有一个固定模式。

刘张炬：我是王虹本科毕业论文的指导老师，跟她接触还比较多。2017年我去MIT开会时，王虹博士还没毕业，我们还一起打过乒乓球。她在本科时就是院队的，代表学院比赛；我是教工男队的。不过我们只是切磋球技，没有切磋学术，因为那时她研究的领域我已经完全不了解了。

2017年，王虹和北大数院时的老师刘张炬在MIT切磋乒乓球。舒红摄

我印象中，大概2020年左右，她已经毕业了，还经常回北大，到我们五楼的工会活动室打球。有次聊天，我顺口问她现在做什么研究。她就提到了“一维线段的问题”，我当时不太理解，话题就岔开了。直到后来他们的大文章发表，我才意识到这个问题的重要性。我以前读过普林斯顿物理学家戴森（Freeman Dyson）的一篇著名科普文章《鸟与青蛙》，里面提到他的导师解决了二维的挂谷问题（旋转针问题）。但我当时并没有意识到高维问题的难度有多大。王虹他们的成果出来后，我才明白这是一个巨大成就。

至于邓煜，我可能都没见过他本人，也没教过他基础课，但也算有点渊源。

2006年的奥数冬令营在福州举行，当时的副院长王长平拉着我一起去提前招生。我印象中邓煜当时考了第一名，自然入选国家队，也顺理成章被北大提前录取了。当然他后来也拿了金牌。

关于王虹的本科毕业论文，我想先强调一下，北大数院有一套非常完善的本科生培养机制，包括导师制、低年级快慢班、讨论班以及本科生科研。我参与的是她培养环节的最后一步——毕业论文。这也是四年培养中不可或缺的环节，能够锻炼自学、文献查找、独立思考和写作能力。过了这一关，他们就“天高任鸟飞”了。

在选题时，因为王虹没有跟我做过本科科研，我们就聊她到底对什么感兴趣。最终，她选了一个非常困难的课题——霍奇理论。这个课题融合了数学的三大核心领域：几何（黎曼几何）、拓扑（德拉姆上同调）和分析（黎曼流形上的拉普拉斯算子，以及作为其解的调和形式）。该定理的核心叙述是：在每一个德拉姆上同调类中，存在唯一一个代表元是调和形式。它把几个最核心的领域紧密联系在一起，任何对数学有感觉的人，都能体会到这种基本而漂亮的结果所带来的美感。

王虹选择这么困难的题目，意味着她要克服很多困难，花费大量时间去学习。她查阅的文献甚至超出了我当时指定的范围。在写作过程中的多次讨论里，我能发现她对问题有深入的思考，并且具备直面和解决困难的素质。最终，她完成了一篇高质量的毕业论文。

从现在的视角看，那篇本科论文或许还显稚嫩，但这毕竟是她迈向独立科学研究的第一步。她后来能取得如此巨大的成功，除了抓住机遇，她那种勇于挑战难题并坚持到底的毅力和内在素质，也是最为关键的因素。

刘张炬：那时也不可能预料到他们后来的成就。

实际上，王虹的经历对女生从事数学研究是一个巨大的鼓舞。她当时并没有达到“封神”的级别。这么多年来，我也带过好几位女生做本科毕业论文。比如现在耶鲁大学的汪璐教授，还有目前在美国东北大学的朱煦雯教授，当年都是跟我做本科毕业论文的。她们都做出了非常出色的工作，只不过暂时没有像王虹这样一鸣惊人。也许若干年后，她们也能达到这样的高度，我衷心祝愿她们都能取得像王虹一样优异的成绩。

03

调和分析的中国传承

苗长兴：这次菲尔兹奖让我非常兴奋，因为与以往相比，获奖方向发生了明显变化。

王虹和邓煜都来自分析学领域，王虹主要从事调和分析与几何测度论研究，邓煜研究调和分析与偏微分方程。这说明，中国年轻数学家不仅继承了陈省身、丘成桐、田刚等前辈在几何领域的传统，在分析学方向也具备了世界领先的竞争力。这与中国学生扎实的数学基础密切相关，因此尤其令人振奋。

调和分析的发展，本质上源于解偏微分方程的需要。20世纪，奇异积分算子、Hardy–Littlewood极大函数等经典工具，为椭圆方程、抛物方程的正则性理论奠定了基础。进入现代以后，人们研究波动方程、非线性薛定谔方程等问题时，不仅要处理奇异性，还要处理振荡现象，于是又发展出了振荡积分理论等一系列新工具。因此，今天偏微分方程中的许多重大突破，都离不开现代调和分析。

我自己的研究道路也是如此。从读肯尼格（Kenig）、博根（Bourgain）、陶哲轩等人的论文开始，我越来越深刻地体会到，现代偏微分方程的发展，很大程度上依赖于调和分析。甚至像纳维–斯托克斯方程这样的千禧年难题，路易斯·尼伦伯格（Louis Nirenberg）也曾提出，其整体光滑性存在性问题未来可能仍需要依赖源于调和分析的新方法。

刘张炬：这一点我也深有同感。前不久，章志飞和韦东奕因偏微分方程研究获得国家自然科学二等奖，他们的主要工具是不是也是调和分析？我注意到韦东奕现在也在讲授调和分析课程。

苗长兴：是的。章志飞原本就是学习调和分析出身，韦东奕非常喜欢调和分析，他在北大也是主讲调和分析的课程，长期关注这一研究方向。他们之所以能够在流体动力学稳定性等难题上取得突破，一个重要原因，就是对调和分析工具有极深的理解。流体稳定性问题出现的线性化算子一般来讲不是经典的自伴算子，没有成熟理论可供套用，他们正是依靠扎实的调和分析功底，建立起解决问题的方法。

王虹一直非常支持国内调和分析的发展。无论是西湖论坛还是国内其他学术活动，她都积极参与、支持年轻学者，对整个领域的发展起到了重要推动作用。

刘和平：实际上，中国在这一领域一直有深厚传统。

最早可以追溯到北京大学程民德院士。他是Bochner的学生，在20世纪40年代末至50年代中期，就在Bochner–Riesz平均问题上取得世界一流成果，并连续发表于《数学年刊》（Annals of Mathematics）。

之后是我的导师、北京师范大学原校长陆善镇教授。改革开放后，他在Bochner–Riesz平均猜想研究中取得重要突破，并因此获得了中国数学会最高荣誉——华罗庚数学奖。

从程民德先生，到陆善镇教授，再到如今活跃在国际前沿的王虹，几代中国调和分析学人薪火相传、不断取得杰出成就。这也是中国调和分析学界共同的荣耀。

04

对中国数学意味着什么

孙鑫：这次王虹和邓煜的获奖，至少可以说明我们中国本土从小学、初中、高中到本科的基础教育体系，在数学人才的选拔与培养方面是卓有成效的，至少没有埋没这些数学人才。另一方面，王虹和邓煜代表了当前活跃在世界数学研究第一线的一大批华人青年数学家。他们的获奖，也是对中国过去三四十年来整个基础数学事业发展的一种高度认可。

放眼未来，我们的一个重要期盼与任务，是希望中国本土培养的博士生也能斩获菲尔兹奖。这确实是我们共同的梦想。

刘张炬：我也希望将来在国内拿到博士学位、受过完整教育的人，能够得到菲尔兹奖，这是第一个希望。第二个希望，可能我们很多观众也是做数学的，或许会觉得自己不够聪明，我说你们要拥抱AI，充分利用AI，你们将来可能也会做出好的成果。

刘和平：希望王虹、邓煜他们，能够多和我们中国年轻的学生们合作，多给将来有希望的青年学生一些指导，让更年轻一代迅速成长起来。

苗长兴：两位年轻的数学家获奖，改变了中国数学研究现状，会影响中国更多的年轻人在数学领域里面做出重大的贡献。也希望我们在海外做出杰出成就的这些数学家，除了邓煜、王虹，包括像张瑞祥等等，都非常优秀，希望这一批年轻的数学家，多回国内指导，或者对我们国内年轻的数学家起到帮忙的作用。

夏志宏：这对中国数学研究、数学教育，乃至中国科学而言都是极具分量的时刻，也是我们这一代数学人盼望已久的时刻。

我有几点感悟想和大家分享：

第一，邓煜王虹两人的经历凸显人才多元培养的重要意义。他们成长背景迥异，做出重大学术贡献，都不是被当作菲尔兹奖候选者定向培养出来的；

第二，王虹邓煜的得奖再次证明中国数学基础教育拥有坚实实力；

第三，北大源源不断走出优秀数学人才，特别是人才扎堆现象，充分说明同辈互相激励、良性竞争的环境，能够极大助力年轻人成长；

第四，王虹、邓煜获奖，标志着新时代来临：属于青年学者主导数学前沿研究的时代。

谢谢大家！《知识分子》《赛先生》将持续关注数学及科学的发展，打造可信的科学传播平台。