湖北
【解题研究】新定义“靓点”——2026年长沙中考数学第25题
越来越多的省市中考数学题将新定义作为压轴题，这种题型十分考验学生的数学思维，通常情况下学习数学的过程中，数学概念的理解是基础，教学中我们不仅教学生理解概念，更需要教学生怎样学习数学，即授人以渔。在初中阶段的数学学习中，学生是否掌握了一套适合自已的学习方法，新定义题是十分有效的试金石。
题目
我们约定：在平面直角坐标系中，当点（x，y）的坐标满足x+y=xy时，称点（x，y）为“靓点”，请你根据约定，解答下列问题：
(1)若点P(x,y)为“靓点”，则点Q(2-x,2-y)是否为“靓点”？请你作出判断并给出理由；
(2)当k>0时，求证：关于x的函数y=kx+m(k,m为常数)的图象上总存在2个不同的“靓点”；
(3)已知关于x的二次函数y=ax²-4ax+4a+2(a为常数)的图象上存在3个不同的“靓点”
且满足
求a的值.
解析：
(1)本题中的“靓点”概念理解起来比较容易，即某个点横纵坐标之和等于其横纵坐标之积；所以我们将点Q的横纵坐标之和(2-x)+(2-y)与乘积(2-x)(2-y)进行比较：
和(2-x)+(2-y)=4-x-y
积(2-x)(2-y)=4-2x-2y+xy
由于点P(x,y)是“靓点”，所以我们有x+y=xy，代入上式得(2-x)(2-y)=4-2x-2y+xy=4-2x-3y+x+y=4-x-y；
所以(2-x)+(2-y)=(2-x)(2-y)，即点Q是“靓点”；
(2)用函数观念来理解“靓点”，即满足x+y=xy的所有点，将这个等式换个写法，更像我们学过的函数关系式：
将它与y=kx+m联立，得：
这个关于x的一元二次方程的判别式是：
由于k>0，所以△>0，图象上总存在2个“靓点”；
(3)关于x的二次函数图象上存在3个不同的“靓点”，我们可以将上一小题的方式迁移，联立，得：
一个小技巧就是将等号右边的式子先配方：
然后去分母，得：
此时可以提公因式，得：
和 是 的 两 根
将 分 别 代 入
利 用 和 化 简
中间过程较复杂，省略，结果得到：
这是一个关于a的三次方程，要解出a的值，并不容易，初中阶段没有学过三次方程的求解，但我们可以将左侧分解因式，得：
解 得
而前面的方程ax²-3ax+2a+1=0有两个不相等的实数根，意味着△=9a²-4a(2a+1)>0，得到a²-4a>0，解出的范围是a<0或a>4，最后得到符合条件的a的值是-2.
上述解法虽然能得到正确的结果，但较为复杂，我们可以适当调整观察视角，让过程稍微简化一下。
仍然从最初的新定义“靓点”开始：
由x+y=xy得
令 则
这显然是一个反比例函数，相对原函数而言，它向上、向右各平移了1个单位，如下图：
原函数研究起来比较复杂，那么我们来研究新函数，将整个平面直角坐标系也向上、向右各平移1个单位，则第2小题中的y=kx+m可变成y+1=k(x+1)+m，联立后得方程为kx²+(k+m-1)x-1=0，同样由判别式△=(m+k-1)²+4k>0可知一定存在2个“靓点”；
而在第3小题中，二次函数同样可以平移，得
仍然联立得方程如下：
同 样 可 得
方 程 两 根 为
同前面方法类似，也得到a=-2.
解题思考
本题最大的争议在于解答过程中出现了三次方程，一元二次不等式，使用初中知识并非不能求解，但在中考压轴题出现，确实对学生要求较高。
但总体而言，题目对函数思维考察是到位的，我们理解新定义“靓点”，并不能简单从这是一个等式入手，把它当作一种降次工具，是小材大用了，需要真正把x+y=xy中的字母看作两个变量，并当函数对待，虽然按初中方式书写，这不太像已经学过的一次函数、二次函数和反比例函数，但稍作调整，便可立刻看出它是双曲线，这种函数表达式的书写方式在高中却是十分常见。
将整个平面直角坐标系平移，原坐标系中的点坐标会发生变化，这在人教版七年级数学下册67页的探究中就有，如下图：
当我们在新坐标系中再次审视这些函数时，会有如下发现：
这便是两个“正常”许多的反比例函数和二次函数，三个交点的情况一目了然。
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