KPZ普适性背后的数学——专访加州理工数学助理教授张灵夫

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有别于钟形高斯正态分布的特雷西–维多姆（Tracy–Widom）分布，同样刻画普适性随机现象，它是整套KPZ（Kardar-Parisi-张翼成）理论的核心组成，过去数十年间，它也推动KPZ理论取得重大突破。加州理工张灵夫接受采访时分享。

积雪堆积遵循普适数学规律

图源：Shutterstock

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作者：Whitney Clavin（加州理工学院）2025-12-12

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-7-11

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细菌菌落增殖、暴风雪积雪堆积、野火蔓延，这些看似毫无关联的随机现象，却遵循同一套普适数学规律。加州理工新晋数学助理教授张灵夫致力于阐释各类生长模式背后的数学机理，探寻这套数学规律为何拥有如此广泛的适用性。

张灵夫的研究方向为概率论，核心领域是KPZ普适性。KPZ取自三位开创该理论、于1986年提出标志性方程的科学家姓氏：梅兰・卡达尔（Mehran Kardar）、乔治・帕里西（Giorgio Parisi）、张翼成（Yi-Cheng Zhang）。

他解释道：“即便近距离观察，各类生长过程形态千差万别；但当我们放大尺度、从宏观视角观察，它们的整体形态与随机波动往往服从同一套底层法则。”

张灵夫在四川长大，2017年于麻省理工学院取得数学、计算机科学双学士学位；2022年在普林斯顿大学获数学博士学位。2024年夏季入职加州理工前，他曾在加州大学伯克利分校从事博士后研究。

我们与张灵夫展开对话，探寻他挖掘自然界各类表象背后深层数学关联的研究之路。

图源：加州理工

问：你年少时就对数学感兴趣吗？

高中时我参加过数学奥林匹克竞赛，但高中毕业之后一度对数学感到倦怠。本科第一年我攻读建筑学，次年转修计算机科学，直到临近毕业才重新找回对数学的热爱。时至今日，我依旧享受纯粹严谨的逻辑推演 —— 这种依靠思维推导解题的乐趣，是建筑、工程领域无法给予的，如同一场脑力体操。

问：是什么吸引你投身概率论研究？

概率论的问题表述直白，哪怕刚入学的博士新生也能看懂，理论体系干净简洁，还有大量源于现实的优美案例，不会过度抽象。

概率论起源于文艺复兴时期，意大利博学家吉罗拉莫・卡尔达诺（Girolamo Cardano）最早研究纸牌、骰子这类随机博弈，奠定该学科雏形。20世纪中期，生物学家与物理学家发现它可用于描述大量物理系统，由此广泛关注。比如KPZ普适性这套概率模型，最初由物理学家提出，用以刻画细菌繁殖、烟雾凝聚、火焰前沿、肿瘤生长等各类生长过程。

但长久以来，这套理论对数学家而言充满谜团。2000年起，数学家终于能够精确求解部分生长过程的概率分布。物理学家最初仅给出KPZ微分方程，而数学家借助代数学，尤其是表示论，实现了对方程更严谨、精准的求解。

问：在你的研究领域，“普适性” 该如何理解？

普适性是概率论诞生之初便存在的核心概念：截然不同的系统，在大尺度下会展现完全相同的行为规律。

早在十六、十七世纪，概率论首个核心定理就围绕高斯分布（俗称钟形曲线）展开。比如统计一群人的身高，数值随机分布，整体就服从高斯分布。很长一段时间里，高斯分布是人类所知唯一具备普适性的随机分布。但后来学界发现，大量生长过程遵循另一种分布 —— 特雷西–维多姆分布（Tracy–Widom law），该分布由克雷格・特雷西（Craig Tracy）与哈罗德・维多姆（Harold Widom）于1994年发现，它同样刻画随机现象，却不属于高斯分布。

举个例子，雪花飘落堆积时，雪粒之间会相互作用，过程更为复杂，其高度波动就服从特雷西–维多姆分布。

高斯分布曲线与特雷西–维多姆分布曲线｜图源：加州理工

不止积雪，特雷西–维多姆分布还适用于社交网络演化、交通拥堵形成等诸多场景。在各类生长模型中，单点位置的KPZ方程解对应的概率分布正是特雷西–维多姆分布。也就是说，若用KPZ方程描述落雪过程，任意一处雪层高度的随机起伏都遵从该分布。

特雷西–维多姆分布是整套 KPZ 理论的核心组成，过去数十年间，它也推动 KPZ 理论取得重大突破。我的研究目标，就是厘清特雷西–维多姆分布普适性背后的数学原理，以及它在 KPZ 体系中反复出现的内在逻辑。

问：你已经解决了哪些具体问题？

我有一项工作从数学层面严格证明：随机排序算法的运行时间会出现特雷西–维多姆分布；另一系列研究搭建工具，证明随机矩阵中同样存在该分布。

眼下我正在攻克一个有趣课题：从数学上证明，更广义的生长过程中也会观测到特雷西–维多姆分布。以大肠杆菌菌落生长为例，现有证明仅限定细菌以特定方式繁殖，更一般的情形仍是难题，这也是广义 “强KPZ普适猜想” 的一类典型问题。

问：你目前对加州理工的感受如何？

我非常喜欢这里小巧精致的办学规模，和任何人交流都十分方便。无论你有研究需求、需要科研资源，哪怕是高层学者，都能轻松对接。这里的学生天赋出众，我布置的课题原本预估要耗费数月，他们短短几天就能取得阶段性进展，再来和我讨论。

同时学校高度重视理工交叉，我的研究横跨物理、计算机科学；小巧的校园带来紧密的人际联结，跨学科交流机会十分丰富。

问：做数学研究，你最热爱的一点是什么？

就像我本科重新爱上数学时的体会：理论研究不像工程、实验那样受现实条件束缚。现实研究存在客观限制，但数学没有硬性壁垒，一切只取决于想象力。而且数学具备普适性，这套逻辑无论在地球，还是人类未来发现的任何星球都成立。

参考资料

https://mathematics.caltech.edu/news/the-math-of-universality

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