高阶相互作用向成对相互作用的可约性：超图上的社会影响模型

Reducibility of higher-order to pairwise interactions: Social impact models on hypergraphs

高阶相互作用向成对相互作用的可约性：超图上的社会影响模型

https://arxiv.org/pdf/2601.05169v1

我们表明，一类在超图上具有高阶相互作用的一般社会影响模型，可以精确地简化为在加权投影网络上具有成对相互作用的等效模型。这种简化是通过一种映射来实现的，该映射保留了改变节点状态的微观概率。作为一个特例，我们引入了超图选民模型（hypergraph-voter models），对于该模型，我们在几个超图系综中通过解析和数值方法计算了投影网络的权重，并通过高阶动力学和简化动力学的模拟来表征其有序化动力学。对于线性社会影响函数（超图线性选民模型），投影网络的权重是静态的，这使我们能够建立一种对近似（pair approximation），从而准确地描述宏观可观测量（macroscopic observables）的时间演化，而这些可观测量被证明与这些权重无关。因此，宏观动力学等效于无权重投影网络上的标准选民模型的动力学。对于幂律社会影响函数（超图非线性选民模型），投影网络的权重取决于瞬时的系统构型。然而，对于连接良好的超图，无权重投影网络上的非线性选民模型仍然能够再现主要的宏观趋势。

I. 引言

在过去的十年中，人们强调许多生物、社会、技术和物理系统不能仅用成对（PW）二元相互作用来完全描述。在许多情况下，相互作用的基本单位通常是多元的，涉及三个或更多实体。因此，仅仅依赖成对相互作用可能会掩盖社会动力学的重要特征 [1–5]。超图和单纯复形为编码这种高阶（HO）相互作用并探索它们所产生的丰富集体现象提供了自然的数学框架 [6]。与标准复杂网络（其中节点代表智能体，边代表二元相互作用）不同，超图允许包含多个节点的超边，每个超边对应一个相互作用的群体。最近的综述表明，在系统描述中引入超边会深刻改变其结构和动力学性质，同时也凸显了关键的开放性理论挑战 [3, 7, 8]。单纯复形模型也被用于描述紧密结合的群体、高维社会结构 [9]，以及群体成员获取和积累信息的方式 [10]。

然而，并非所有的群体或多智能体相互作用都需要显式的超图表示。某些社会过程——例如多次暴露导致的社会从众性 [11]——可以在标准复杂网络框架内被充分捕捉。例如，复杂传染现象 [12, 13]（包括创新的采纳或谣言的传播）通常由受 Granovetter 阈值模型 [14, 15] 启发的模型来描述，在该模型中，在复杂网络表示下，采纳行为需要最少一定数量的邻居为采纳者。众所周知，复杂传染模型通常表现出导致不连续一阶相变的级联机制 [15, 16]，这与二元流行病模型中典型的连续相变形成对比 [17]。然而，类似的不连续相变也被归因于超图和单纯复形中的高阶相互作用 [2, 18]。第二个例子是复杂网络上的非线性选民模型 [19–21]，其中智能体状态的更新取决于其所有邻居的联合构型，从而有效地捕捉了群体相互作用的同步影响。事实上，群体相互作用的存在并非由网络的拓扑结构决定，而是由网络上定义的动力学决定：在非线性选民模型中，群体相互作用产生于在原本二元的网络上定义的更新规则。

在统计物理对相互作用粒子的处理中，相互作用通常被假定为成对的，但这并不排除三体或更高阶碰撞的出现，正如 Ursell-Mayer 集团展开（簇展开）所捕捉到的那样 [22, 23]。这种展开的图类似于现代高阶相互作用文献中的超边。在具有纯粹成对相互作用势的系统的维里展开中，二阶系数反映了两体碰撞，而高阶系数则对应于更大粒子集合之间的碰撞。这表明，多体效应（类似于高阶相互作用）甚至可以在根本上是成对相互作用的框架内产生。

正是在上述讨论的背景下，激发了本项工作的核心问题随之产生。“高阶相互作用”确切意味着或暗示着什么？它是否对应于由显式的三体或更高阶势能编码的真正群体相互作用，或者它能否从成对相互作用的组合中涌现？何时需要超图表示？在什么条件下，高阶相互作用可以被还原为有效的二元相互作用？

本文的结构安排如下：第二节（Sec. II）回顾了用于实现高阶相互作用的超图类别、投影网络的概念以及超图上的一般社会影响动力学模型。第三节（Sec. III）探讨了高阶（HO）相互作用向成对（PW）相互作用的映射：我们引入了一个一般的加权成对相互作用模型，并推导出了投影网络的权重，从而使得该模型与超图上的高阶模型在微观上精确等效。第五节（Sec. V）[注：原文跳过了第四节] 将该框架应用于各种超图结构上的超图选民模型。我们在第六节（Sec. VI）中总结了主要结果并得出结论。附录 A 至 H 提供了技术细节和中间计算过程。

II. 超图上的社会影响模型

在本节中，我们引入了一个用于研究超图上社会影响模型的一般框架。我们首先描述由超图定义的相互作用拓扑结构（第二节A），然后详细说明控制动力学的一般更新规则（第二节B）。

A. 超图和投影网络的定义

尽管在第三节中我们为任意超图开发了高阶（HO）相互作用向成对（PW）相互作用的映射，但我们现在定义了几种 d d-超图，即那些仅包含 d d-超边的超图，这些将在后面的一些显式计算中被考虑。

关于 ER 和 z-RR d d-超图生成的细节在附录 A 中给出。值得注意的是，这两种超图的生成偶尔可能会产生不连通的拓扑结构。在整个这项工作中，我们在实施动力学时仅关注连通的超图。

1. 投影网络

投影网络表示法的优点在于保留了每个节点的邻域结构，并通过更简单的拓扑结构编码了其与邻居的成对相互作用。然而，它也有局限性：它丢失了关于原始超图高阶相互作用的显式信息。特别是，重叠（overlap）无法被投影网络捕捉。

2. 加权投影网络

更一般地，我们可以定义替代的投影规则，其中权重指定了高阶相互作用如何转化为有效的成对相互作用。特别是，权重的选择可以取决于所考虑的动力学，以便超图上原始模型的微观转移概率能够被加权投影网络上的等效动力学精确重现，即使动力学规则可能不同。正如我们将在第三节（Sec. III）中看到的那样，确保这种等效性的权重的精确定义既取决于超图结构，也取决于具体的动力学过程。在整项工作中，术语“加权投影网络”将指代后一种情况，即权重是动态定义的，而不是简单地由共享超边的数量给出。

B. 动力学模型

时间以蒙特卡洛步（MCS）为单位进行测量。一个 MCS 对应 N N 次更新尝试，使得平均而言，每个节点在每个 MCS 中被选择一次。

该动力学模型采用了一种节点更新的被动通信视角，即一个焦点节点从属于一条关联超边的一组节点接收输入，并根据它们的状态更新其自身状态。

III. 超图上社会影响模型向成对相互作用的可还原性

在本节中，我们考察第二节 B 部分（Sec. II B）中介绍的超图上的社会影响模型，如何在微观层面上映射到复杂网络上的等效有效成对相互作用（effective pairwise interactions）。我们的目标是开发一种方法，用等效的成对（PW）相互作用来精确表示高阶（HO）相互作用。

A. 成对相互作用模型

还原为成对（PW）动力学的一个自然参考点是选民模型（VM）[31–39]，它作为成对模仿动力学的典范例子。如前所述，在其标准形式中，一个焦点节点复制其随机选择的一个邻居的状态，这为研究成对相互作用提供了最小框架。

这些更新规则导出了节点 i i 的以下翻转概率：

B. 超图上社会影响模型的可还原性

在本节中，我们建立了一种映射，将第二节 B 部分（Sec. II B）中定义的具有高阶（HO）相互作用的超图上的社会影响模型，映射到第三节 A 部分（Sec. III A）中引入的具有成对（PW）相互作用的等效模型上。

其中，同样地，根据构造分母是非零的，因为权重仅针对共享相同状态的邻居定义。

IV. 均匀超图上的社会影响模型

虽然在第三节（Sec. III）中我们建立了任意超图上社会影响模型向成对（PW）动力学的精确微观映射，但在这里我们专注于均匀超图，对于这类超图，共享相同状态的节点在统计上是等效的。

我们首先推导这一类一般超图的宏观演化方程。然后，通过显式计算相应的转移概率，将分析特化到全连通超图和完全 d d-超图。最后，我们获得了有效权重的显式表达式，见公式 (16) 和 (17)，这些表达式定义了一个投影网络，该网络在每种情况下都简化为具有状态均匀权重的完全图。

A. 宏观动力学

这提供了一种直接的方法来确定宏观动力学的不动点并评估其稳定性。

B. 全连通超图

为了保持一致性，我们注意到，通过将全连通超图上的高阶（HO）动力学的翻转概率（公式 22）与具有状态均匀权重的完全图上的成对（PW）动力学的翻转概率（公式 12）相等，并结合归一化条件（公式 11），也可以获得这些权重。

C. 完全 d-超图

V.超图选民模型

在本节中，我们考虑超图选民模型，该模型由我们关于超图的一般动力学模型（第二节 B）中社会影响函数的一种特殊形式所定义，

A. 均匀超图上的宏观动力学

将其代入公式 (32) 后，重现了全连通超图的结果（公式 31）。

B. 超图选民模型的可还原性

在本节中，我们通过讨论超图选民模型向投影网络上有效成对（PW）动力学的可还原性，来阐述我们在第二节 B（Sec. II B）中提出的一般框架。

除了这种微观映射之外，我们还通过比较三种不同的动力学来评估成对（PW）描述的动力学相关性：超图上的高阶（HO）动力学、加权投影网络上的成对（PW）动力学，以及投影网络上相应的成对（PW）选民动力学。虽然高阶（HO）和成对（PW）动力学之间的等效性直接源于映射本身，但与相应的成对（PW）选民动力学的比较使我们能够评估由高阶（HO）相互作用引起的权重所起的作用，以及宏观可还原性的问题。

这种比较是在宏观层面上进行的，重点关注两个表征有序化过程的可观测量：

• 活跃连边密度 ρ ρ（Density of active links）： 在复杂网络中，该量被定义为连接处于相反状态节点的连边所占的比例。对于超图， ρ ρ 对应于关联投影网络中的活跃连边密度。
• 固定时间 τ τ（Fixation time）： 从给定的初始构型开始，达到两个吸收性共识态之一所需的时间。

此外，对于超图线性选民模型，我们通过成对近似（pair approximation）分析证明了——有序化动力学不依赖于定义成对（PW）动力学的权重的具体异质性。换句话说，在宏观层面上，超图线性选民模型在动力学上等效于投影网络上的选民模型。

1. 超图线性选民模型

超图线性选民模型对应于公式 (30) 中定义的社会影响函数的线性情况 。

对于全连通超图和完全 d d-超图，将线性形式代入权重的相应表达式（公式 23 和 28），得出了相同的与状态无关的权重，

我们现在通过成对近似（pair approximation）表明，在超图线性选民模型中，权重的异质性不影响宏观动力学。

成对近似

将高阶（HO）动力学映射为成对（PW）动力学的一个重要优势是，它使得通过成熟的理论方法进行分析处理成为可能。特别是，复杂网络上的选民模型允许进行准确的近似，以捕捉不同详细程度的动力学相关性，例如成对近似 [38]、异质成对近似 [49] 和近似主方程 [16]。这些框架允许人们推导出宏观可观测量的显式表达式。

总而言之，这些结果表明，正如成对近似（PA）所预测的那样，超图线性选民模型动力学的宏观描述实际上对高阶拓扑结构不敏感。由映射产生的投影网络中权重的显式形式变得无关紧要，所有相关的结构信息都被编码在投影网络的度分布中。

1. 图非线性选民模型

对于全连通超图，通过将公式 (30) 代入公式 (23) 得到的投影网络权重为

对于完全 d d-超图，通过将公式 (30) 代入公式 (28) 得到的投影网络的权重由下式给出

VI. 讨论与结论

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2601.05169v1